高中数学集合的基本运算

观察集合A,B,C元素间的关系:A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，C={3，4，5，6，7，8}一、并集：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集,记作：A∪B即：A∪B={xx∈A,或x∈B}读作：A并BABA={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，C={5，8}观察集合A,B,C元素间的关系:二、交集：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集,记作：A∩B读作：A交B即：A∩B={xx∈A,且x∈B}ABA∩BB∩A（2）A∩A=A∩φ=Aφ=三、并集和交集的性质：A∪BB∪A（1）A∪A=A∪φ=AA=（3）AA∪BBA∪B三、并集和交集的性质：（5）A∩BA∪B（4）A∩BAA∩BB（7）若A∩B=A,则AB．反之,亦然.三、并集和交集的性质：（6）若A∪B=A,则AB．反之,亦然.1．能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？答：不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅.自主探究2．怎样理解并集概念中的“或”字？对于A∪B，能否认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？答：其中“或”字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A，但x∉B，x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，违反了集合中元素的互异性．因为A与B可能有公共元素，公共元素只能算一个．解：A∩B=｛x|-3x2｝∩｛x|x-1.5,或x1.5｝=｛x|-3x-1.5,或1.5x2｝A∪B=｛x|-3x2｝∪｛x|x-1.5,或x1.5}=R1、设A=｛x|-3x2｝，B=｛x|x-1.5,或x1.5｝，求：A∩B，A∪B.2、设A=｛x|０x＋１３｝,B=｛x|1x3｝，求：A∩B，A∪B.解：Ａ＝｛x|0x+13}={x|-1x2}A∩B=｛x|-1x2｝∩｛x|1x3｝=｛x|１x２｝A∪B=｛x|-1x2｝∪｛x|1x3｝=｛x|-1x3｝课堂练习3．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，则A∩B＝________.答案：{(2,5)}解析：由y＝x＋3y＝3x－1得x＝2y＝5，∴A∩B＝x，y|y＝x＋3y＝3x－1＝x，y|x＝2y＝5＝{(2,5)}．4．已知Q＝{x|x是有理数}，Z＝{x|x是整数}，则Q∪Z＝________.解析：Q∪Z＝{x|x是有理数}∪{x|x是整数}＝{x|x是有理数}＝Q.答案：Q1．设集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∪B等于()A．{1,2,2,3}B．{2}C．{1,2,3}D．∅答案：C2．设集合A＝{x|－5≤x1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于()A．{x|－5≤x1}B．{x|－5≤x≤2}C．{x|x1}D．{x|x≤2}答案：A预习测评误区解密因没有明确描述法表示集合时的代表元素而出错【例4】设集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B等于()A．{(0,2)，(1,2)}B．{0,1}C．{1,2}D．{y∈R|y≥1}错解1：解方程y＝x2＋1y＝x＋1得x＝0y＝1或x＝1y＝2，故选B.错解2：在解方程组的基础上，注意到M、N中代表元素是y，故选C.错因分析：没有理解集合的描述法的含义，元素的表达式符号是“y”，而不是“(x，y)”，有的同学盲目地将两约束条件联立求得其交点坐标，其实质是误将元素表达式“y”理解成“(x，y)”．正解：A＝{y∈R|y≥1}，B＝{y∈R|y∈R}，∴A∩B＝{y∈R|y≥1}，故选D.答案：D纠错心得：这里的集合A、B是用描述法表示的，要首先明确代表元素是什么，再看元素的属性，从而确定该集合表示的意义，是数集，还是点集，是x的取值范围还是y的取值范围，解决这一类问题时，一定要抓住集合及其元素的实质．题型二已知集合的交集、并集求参数【例2】设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a.解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B.∵a2＋1≠－3，∴①若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，∴a≠0.②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.点评：本题考查交集的定义，并考查集合中元素的性质，注意分类讨论思想的运用，在确定集合中的元素时，要注意元素的互异性这一属性以及是否满足题意．题型三交集、并集性质的运用【例3】若A＝{x|x2＋px＋q＝0，x∈R}，B＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，A∪B＝B，求p，q满足的条件．解：B＝{1,2}，而A∪B＝B，则A⊆B，故A＝∅或A＝{1}，{2}，{1,2}．①若A＝∅，则x2＋px＋q＝0无解，即Δ＝p2－4q0，∴p24q时，A⊆B.②若A＝{1}，则x2＋px＋q＝0有两相等实根1，显然p＝－2，q＝1，即p＝－2，q＝1时，A⊆B.③若A＝{2}，则x2＋px＋q＝0有两相等实根2，显然p＝－4，q＝4，即p＝－4，q＝4时，A⊆B.④若A＝{1,2}，则x2＋px＋q＝0的两根为1,2，由根与系数的关系易求出p＝－3，q＝2，即p＝－3，q＝2时，A⊆B.综上可知，p，q满足条件为p24q；p＝－2q＝1；p＝－4q＝4；p＝－3q＝2.点评：在解答集合的交、并运算时，常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题．解答时应充分利用交集、并集的有关性质，准确转化条件，有时也借助数轴分析处理．另外还要注意“空集”这一隐含条件．3、已知A={x|-１x7},B={x|xa},若A∩B=Ф,则实数a的取值范围为：a74、已知A={x|x≤4},B={x|xa},若A∪B=R,则实数a的取值范围为：课堂练习a≤45、写出满足条件的所有集合M.{12}{123}M，，，{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}题型一交集、并集的运算【例1】求下列两个集合的并集和交集．(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{－1,0,1,2,3}；(2)A＝{x|x－2}，B＝{x|x－5}．解：(1)如图所示，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2,3}．典例剖析(2)结合数轴(如图所示)得：A∪B＝R，A∩B＝{x|－5x－2}．点评：求两个集合的交集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集．1．(1)若集合A＝{x|x－1}，B＝{x|－2x2}，则A∪B等于()A．{x|x－2}B．{x|x－1}C．{x|－2x－1}D．{x|－1x2}(2)若将(1)中A改为A＝{x|xa}，求A∪B.解析：(1)画出数轴，故A∪B＝{x|x－2}．答案：A解：(2)如图所示，当a－2时，A∪B＝A；当－2≤a2时，A∪B＝{x|x－2}；当a≥2时，A∪B＝{x|－2x2或xa}．2．已知A＝{x|ax≤a＋8}，B＝{x|x－1或x5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．解：由aa＋8，又B＝{x|x－1或x5}，在数轴上标出集合A、B的解集，如图．要使A∪B＝R，解得－3≤a－1.综上可知：a的取值范围为－3≤a－1.则a＋8≥5a－1，3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：∵A∪B＝A，∴B⊆A.若B＝∅时，2aa＋3，即a3，解得：－1≤a≤2，综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2或a3}．若B≠∅时，2a≥－2a＋3≤52a≤a＋3，1．全集的定义一般地，如果一个集合含有我们____________元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.2．补集(1)定义：对于一个集合A，由全集U中________的所有元素组成的集合称作集合A相对于全集U的补集，记作.(2)集合表示：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．所研究问题中所涉及的所有U不属于A∁UA四、全集与补集：(3)Venn图表示：(4)运算性质：∁UU＝，∁U∅＝，∁U(∁UA)＝.∅UA(2)CU(CUA)=A五、补集的性质：(1)CUU=φCUΦ=U(4)若ABU,则CＵACＵB(5)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(6)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)UA∩(3)A∪(CUA)=(CUA)=φ1．全集一定包含任何一个元素吗？一定是实数集R吗？答：(1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素．(2)全集是相对于研究问题而言的，如只在整数范围内研究问题时，则Z为全集；而当问题扩展到实数时，则R为全集，故并非全集都是实数集R.自主探究2．怎样理解全集与补集的概念？符号∁UA的含义是什么？答：(1)全集只是一个相对的概念，只包含所研究问题中所涉及的所有元素，补集只相对于相应的全集而言．(2)同一个集合在不同的全集中补集不同；不同的集合在同一个全集中的补集也不同．(3)符号∁UA包含三层意思：①A⊆U；②∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．1、如果全集U={x|0≤X6,X∈Z},A=｛1,3,5｝,B=｛1,4｝那么，CUA=CUB={x|0x≤2,或5≤x10}｛0,2,4｝2、如果全集U={x|0x10},A={x|2x5},则CUA=｛0,2,3,5｝课堂练习1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A等于()A．{0}B．{1}C．∅D．{0,1}解析：∵∁UA＝{2}，∴A＝{0,1}．答案：D2．已知全集U＝R，A＝{x|x2}，则∁UA等于()A．{x|x2}B．{x|x2}C．{x|x≥2}D．{x|x≤2}答案：C预习测评3．若A＝{x∈Z|0x10}，B＝{1,3,4}，C＝{3,5,6,7}，则∁AB＝________，∁AC＝________.解析：∵A＝{1,2,3，…，9}，B＝{1,3,4}，C＝{3,5,6,7}，∴∁AB＝{2,5,6,7,8,9}，∁AC＝{1,2,4,8,9}．答案：{2,5,6,7,8,9}{1,2,4,8,9}4．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁UC)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}题型一补集的运算【例1】已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B.解：解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}解法二：借助Venn图，如图所示，典例剖析点评：根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出补集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限多时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．由图可知B＝{2,3,5,7}．反馈演练.,,},2{},5,1,2{},0|{},02|{122的值求且、已知rqpBABArqxxxBpxxxA)10,3,1(rqp.,},9{},9,1,5{},,12,4