史济怀-刘太顺.--复变函数.--习题解答

第一章复数与复变函数§1.1习题2．设12,,...,nzzz是任意n个复数，证明：11||||nnkkkkzz，并给出不等式中等号成立的条件.（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,nzzz线性相关）.3．证明：1(ReIm)ReIm.2zzzzz证明：设zaib，则Reza，Imzb，22||zab.由题2知，zabiab故22222222222()||22222abaabbababababz，即有1(ReIm)ReIm.2zzzzz4．若12||,0zz，证明：21212||zzzz.证明：不妨设22221210.zzzz则2222212122121112zzzzzzzzzzzz即有21212||zzzz成立.5．设|a|1，证明：若|z|=1，则11zaaz.证明：由1z得1zz故11zazazzzazaz即证之.6．设|a|1，|z|1.证明：11zaaz.证明：提示：（11zaaz2222||2Re||12Re||||;zazaazaz而2222221||||||||(1||)(1||)0;azazaz）7．设12,,...,nzzz，12,,...,n是任意2n个复数，证明复数形式的Lagrange等式：22221111()(),nnnkjjjjjjkjjjjknzzzz并由此推出Cauchy不等式：222111nnnjjjjjjjzz.证明：提示（记1212......nnzzzA，1112'2212...detdet()0.........nnnnzzzzzAAz，2detdet||jkjjjkkjjkkkzzzzzz，则原式=210kjjkjknzz.(1)另外，21111122221211...detdet.........nnjjjjjnnnnjjjnjjnzzzzzzzzz222111()()0nnnjjjjjjjzz.（2）由（1）=（2）可得证.§1.2习题1．把复数1cossinzi写成三角形式.解：1111112222221()2Re(2cos)2iiiiiiizeeeeeee.2．问取何值时有(1)(1)nnii.解：提示（41,1,1kiiikNi）3．证明：01sinsin()22cos,2sin2nknk01coscos()22sin,2sin2nknk证明：由于(1)201sin121sin2ininnikikneeee，则即可得00cosRennikkkke，00sinnnikkkkime.4．证明：123zzz和123同向相似的充分必要条件为112233111zzz=0.证明：提示（123zzz和123zzz同向相似,abC，使得(1,2,3)kkazbk111122223333111,,111wzwzwazbwzwzwz线性相关1122331det10.1zwzwzw）5．设12zz，证明：z位于以1z和2z为端点的开线段上，当且仅当存在(0,1)，使得12(1)zzz；证明：z位于以1z和2z为端点的开线段上210,()kzzkzz210,11zzkzkk12(0,1),(1),()1kzzzk.6．图1.5是三个边长为1的正方形，证明：2AODBODCOD.EABCOD解：以O为原点，OD为X轴，OE为Y轴，建立坐标系.设123,,OAzOBzOCz则1231,2,3zizizi，从而123arg()arg(1)(2)(3)arg(10)zzziiii.因为i是单位向量，它的辐角为2，即2AODBODCOD.10．证明：22221212122(||),zzzzzz并说明等式的几何意义.证明：222222121211221122||||||2Re||||2Re||zzzzzzzzzzzz22122(||||)zz几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和.11．设1,...,nzz是单位圆周（以原点为中心、半径为1的圆周）上的n个点，如果1,...,nzz是正n边形的n个顶点，证明：1nkkz=0.证明：记12...nzzzC，设该正n边形的一个圆心角为，0.由复数乘法几何意义及正n边形对称性，0ie，即证之.13.设1z，2z，3z，4z是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件为12340zzzz.证明：提示（先为菱形，连线为直径对点则是矩形）14.设L是由方程0azzzzd所确定的点的轨迹，其中a，d是实数，是复数.证明：（i）当a=0，0时，L是一直线；（ii）当a0，20ad时，L是一圆周.并求出该圆周的圆心和半径.证明：（i）令22d，则2d，故原方程为()()0zz，即Re()0z，即z与垂直，从而轨迹是一条通过点，与垂直的直线.（ii）记220ad，则2ad，原式22220()()azzazazadazazaz即证之.§1.3习题1.证明：在复数的球面表示下，z和1z的球面像关于复平面对称.证明：设zxiy其球面对应的坐标为21232221,,1(1)1zzzzzxxxzizz.而1z球面像对应的坐标为1122211'1111zzzzzzxxzzz,2222211'1(1)(1)(1)zzzzzzxxiziziz,222332221111'1111zzzxxzzz,从而有'''112233,,xxxxxx，故z和1z的球面像关于复平面对称.2.证明：在复数的球面表示下，z和的球面像是直径对点当且仅当z=-1.证明：设zxiy，由1z得11,zz，由于z对应的球面像为21232221,,1(1)1zzzzzxxxzizz，对应的球面像为123',','xxx，计算可得：11,2233'','xxxxxx，故z和的球面像是直径对点.由球面表示的几何意义知，,z位于通过竖坐标轴的平面与xoy平面交点上，从而,z必与原点共线，则,0z，由33'xx，易知1.3.证明：在复数的球面表示下,C中的点z和的球面像间的距离为22211zzw.证明：设z和w的球面像的坐标为123,,xxx和123',','xxx，则222112233112233'''22'''xxxxxxxxxxxx，112233'''xxxxxx22221111zzzzzz2222211211zzz故222112233,'''dzxxxxxx11223322222'''11zxxxxxxz4.证明：在复数的球面表示下，若abcd是二阶酉方阵，则C的变换w=azbczd诱导了球面绕球心的一个旋转.证明：先证222,,,11zwzwcdzwzw，一定有,,azbawbddzwczdcwd.而22222222()det11abazbawbzwczdcwdcdazbczdawbcwdazbawbczdcwd，由abcd是二阶酉方阵知，222det1,11||1,11abacabzzazbczdzzzcdcdbd类似的有222||1,awbcwdw故原式=2222221111adbczwzwzwzz，故,,azbawbddzwczdcwd成立，从而诱导变换是一个等距.又等距变换的行列式是abcd的连续函数且只取1两个值，而二阶酉方阵全体是连通的，从而行列式为常数.取abcd=1001，此时诱导变换是恒等变换，行列式为1，故此常数为1，从而此等距变换为旋转.§1.4习题1.设0(,0]z，0nz，nN.证明：复数列nz收敛到0z的充要条件是0limnnzz和0limargargnnzz.证明：因为00(,0],0,..argzstz，由不等式0000||||||||argargnnzzzzzzz即得充分性由不等式00||||||nzzzz及0000argarg||||||2||sin2nnzzzzzzz并注意0argarg222nzz，可得必要性.2.设zxiyC,证明：lim1cossinnxnzexiyn.（提示：分开证明实部与虚部收敛即可.）§1.5习题2．设EC是非空点集，,zwC.证明：,,dzEdEz成立，而,,,dzEdEdzE不成立.证明：,E有(,)inf||||||||EdzEzzzz||(,)||dzEz，取下确界得(,)inf||(,)||EdEdzEz，即(,)(,)||dzEdEz（1）同样可得(,)(,)||dEdzEz（2）因此由（1）（2）可得结论成立.反例：令{1},2,1Ez.则(,)dzE=1，(,)dE=0，(,)dzE=03.指出下列点集的内部、边界、闭包和导集：(i)N={k:k为自然数}；解：内部：空集；边界：N；闭包：N={k:k为自然数}；导集：空集.(ii)E={1k:k为自然数}：解：内部：空集；边界：E0；闭包：E=E0；导集：{0}.(iii)D=B(1,1)(1,1)B;解：内部：D=B(1,1)(1,1)B;边界：{:|1|1DzzC或|1|1}z；闭包：{:|1|1DzzC或|1|1}z；导集：'{:|1|1DzzC或|1|1}z；(iv)G={zC:12z};解：内部：{:1||2}oGzzC；边界：；{:||2GzzC或||1}z闭包：{:1||2}GzzC；导集：'{:1||2}GzzC；(v)C.解：内部：C；边界：空集；闭包：C；导集：C