三角函数和反三角函数

第二章三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+)的简图，理解A、w、的物理意义。6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctgx表示。7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。二、知识结构1.角的(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。(3)象限角：由角的终边所在位置确定。第一象限角：2kπ＜α＜2kπ+2,k∈Z第二象限角：2kπ+2＜α＜2kπ+π,k∈Z第三象限角：2kπ+π＜α＜2kπ+23,k∈Z第四象限角：2kπ+23＜α＜2kπ+2π,k∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k·360°+α，k∈Z。(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝2k，k∈Z｝终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ+4，k∈Z｝终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-4，k∈Z｝终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝kπ-4，k∈Z｝2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。(2)角度与弧度的互化：1°＝180弧度，1弧度＝(180)°(3)两个公式：(R为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。弧长公式：l=｜α｜R扇形面积公式：S=21lR=21｜α｜R23.(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T叫做这个函数的一个周期，如果T中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。(2)几个常见结论：①如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也是y=f(x)的周期。(1)②如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么T也是y=f(wx)(w≠0)的周期。③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c。4.三角函数定义：(1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sinα=ry,cosα=rx,tgα=yr,ctgα=yx,Secα=rx,cscα=ry(如图(1))。(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))(3)同角三角函数的基本关系式：倒数关系：sinα·cscα=1,cosα·secα=1,tgα·ctgα=1商数关系：tgα=cossin,ctgα=sincos平方关系：sin2α+cos2α=1,1+tg2α=sec2α,1+ctg2α=csc2α(4)诱导公式：α2kπ+α-απ-απ+α2π-α2-α2+α正弦sinα-sinαsinα-sinα-sinαcosαcosα余弦cosαcosα-cosα-cosαcosαsinα-sinα正切tgα-tgα-tgαtgα-tgαctgα-ctgα余切ctgα-ctgα-ctgαctgα-ctgαtgα-tgα上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。5.已知三角函数值求角6.三角函数的图象和性质：(1)三角函数线：如图(3)，sinα=MP,cosα=OM,tgα=AT,ctgα=BS(2)三角函数的图像和性质：函数y=sinxy=cosxy=tgxy=ctgx图象定义域RR｛x｜x∈R且x≠kπ+2,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2时ymax=1x=2kπ-2时ymin=-1［-1,1］x=2kπ时ymax=1x=2kπ+π时ymin=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2,2kπ+2］上都是增函数；在［2kπ+2,2kπ+32π］上都是减函数(k∈Z)在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)在(kπ-2，kπ+2)内都是增函数(k∈Z)在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)7.函数y=Asin(wx+)的图像：函数y=Asin(wx+)的图像可以通过下列两种方式得到：＞0，图像左移(1)y=sinxy=sin(x+)＜0，图像右移｜｜w＞1，横坐标缩短为原来的w1倍y=sin(wx+)0＜w＜1，横坐标伸长为原来的w1倍A＞1，纵坐标伸长为原来的A倍y=Asin(wx+)0＜A＜1，纵坐标缩短为原来的A倍w＞1,横坐标缩短为原来的w1倍(2)y=sinx0＜w＜1,横坐标伸长为原来的w1倍＞0，图像左移wy=sin(wx)＜0,图像右移wA＞1，纵坐标伸长为原来A倍y=sin(wx+)y=Asin(wx+)0＜A＜1，纵坐标缩短为原来A倍8.两角和与差的三角函数：(1)常用公式：两角和与差的公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ，tg(α±β)=tgtgtgtg1倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，tg2α=212tgtg.半角公式：sin2=±2cos1,cos2=±2cos1,tg2=±cos1cos1=cos1sin=sincos1.积化和差公式：sinαcosβ=21〔sin(α+β)+sin(α-β)〕,cosαsinβ=21〔sin(α+β)-sin(α-β)〕cosαcosβ=21〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,sinαsinβ=-21〔cos(α+β)-cos(α-β)〕和差化积公式：sinα+sinβ=2sin2cos2,sinα-sinβ=2cos2sin2cosα+cosβ=2cos2cos2,cosα-cosβ=-2sin2sin2万能公式：sinα=21222tgtg，cosα=212122tgtg,tgα=21222tgtg(2)各公式间的内在联系：(3)应注意的几个问题：①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。④常具的变形公式有：cosα=sin22sin,sin2α=22cos1,cos2α=22cos1,tgα+tgβ＝tg(α+β)(1-tgαtgβ).⑤asinα+bcosα=22basin(α+).(其中所在位置由a，b的符号确定，的值由tg=ab确定)。9.解斜三角形：在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C=π2A+2B＝2-2C，2A+2B＝2π-C余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA=bcacb2222cosB=acbca2222cosCabcba2222正弦定理Aasin=Bbsin=Ccsin=2RR为ΔABC的外接圆半径a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=Ra2,sinB=Ra2,sinC=Rc2射影定理acosB+bcosA=cacosC+cosA=bbcosC+ccosB=a面积公式①SΔ=21aha=21bhb=21chc②SΔ=21absinC=21acsinB=21bcsinAsinA=abS2sinB=acS2③SΔ=Rabc4④SΔ=c)-b)(P-a)(P-P(P(P=21(a+b+c))⑤SΔ=21(a+b+c)r(r为ΔABC内切圆半径)sinC=abS210.反三角函数：名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x∈〔-2,2〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyy=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tgx(x∈(-2,2)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctgyy=ctgx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arcctgy理解arcsinx表示属于［-2,2］且正弦值等于x的角arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角arctgx表示属于(-2,2)，且正切值等于x的角arcctgx表示属于(0，π)且余切值等于x的角图像性质定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域［-2，2］［0，π］(-2，2)(0，π)单调性在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctg(-x)=-arctgxarcctg(-x)=π-arcctgx周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-2,2］)cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］)arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)tg(arctgx)=x(x∈R)arctg(tgx)=x（x∈(-2,2)）ctg(arcctgx)=x(x∈R)arcctg(ctgx)=x(x∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=2(x∈［-1,1］)arctgx+arcctgx=2(X∈R)11.三角方程：(1)最简单三角方程的解集：方程方程的解集sinx=a｜a｜＞1Φ｜a｜=1｛x｜x=2kπ+arcsina,k∈z｝｜a｜＜1｛x｜x=kπ+(-1)karcsina,k∈z｝cosx=a｜a｜＞1Φ｜a｜=1｛x｜x=2kπ+arccosa,k∈z｝｜a｜＜1｛x｜x=2kπ±arccosa,k∈ztgx=a｛x｜x=kπ+arctga,k∈z｝ctgx=a｛x｜x=kπ+arcctga,k∈z｝(2)简单三角方程：转化为最简单三角方程。三、知识点、能力点提示三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。下面对常见考点作简单分析：1.角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。2.三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应用。3.三角函数性质的考查(1)定义域和值域：(2)周期性：通常结合恒等