第21章-一元二次方程导学案

五里初中-1-21.1一元二次方程主备人：审核：九年级数学组时间：班级姓名学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。教学过程：一、探究新知：自学课本2页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程：整理得①问题2可列方程：整理得②1、4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x.2、一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x.3、把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义：【我学会了】1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：,其中是二次项，是一次项，是常数项，是二次项系数，是一次项系数。3、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_____________的值。展示反馈：1、判断下列方程是否为一元二次方程。(6)2x(3x-5)=6x2+4【自主探究】例将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．1、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。（1）8142x（2）)2(5)1(3xxx2、若关于x的一元二次方程012)1(22mxxm的常数项为0，求m的值是多少？,023)7(2xmxx的方程关于05)12()1()8(22ayayay的方程关于五里初中-2-3、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1）)()(1412xxx±1±2；（2）0822xx±2，±4【巩固练习】1、下面哪些数是方程220xx的根？－3、－2、－1、0、1、2、3、2、一个三角形两边长分别为3cm和7cm，第三边长acm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长【归纳小结】1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？【达标测评】1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）0233122xx（）（2）0522yx()(3)02cbxax（）(4)07142xx()2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2；（2）7x－3=2x2;（3）(2x－1)－3x(x－2)=0（4）2x(x－1)=3(x＋5)－4.3、若关于x的方程（m+3）27mx+（m－5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．4、初中同学聚会，如果参加聚会的有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？5、已知关于x的方程(k2-1)x2+kx-1=0为一元二次方程，则k.6、已知关于x的一元二次方程043)2(22mxxm有一个解是0，求m的值。7、已知a是方程x2－2x－3=0的一个根，求代数式3a2－6a－3的值。五里初中-3-【延展提高】1、已知关于x的方程22(1)(1)0mxmxm．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。2、若(0)nn是关于x的方程220xmxn的根，则mn的值为（）A．1B．2C．－1D．－23、若m是方程x2＋x－1＝0的根，则式子m3＋2m2＋2009的值为()．A.2007B.2008C.2009D.20104、已知α，β是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，那么(α2－2α＋2)(β2－2β－1)＝________.5、已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()．A．－１B．0C．1D．26、已知实数a是一元二次方程0120102xx的解，求代数式12010200922aaa的值.7、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．教学反思：教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.五里初中-4-21.2.1直接开平方法主备人：审核：九年级数学组时间：班级姓名学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如2x=p(p≥0)或（mx+n）2=p(p≥0)的方程2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。导学流程：一、自主探索自学课本P5完成下列各题：解下列方程：（1）x2－2＝0;（2）16x2－25＝0.（3）（x＋1）2－4＝0；（4）12（2－x）2－9＝0.总结归纳：如果方程能化成2x=p或（mx+n）2=p(p≥0)（即未知数的一次整式的完全平方等于非负常数）形式，则可用直接开平方法解之。达标测评：1、解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）x2－12=0（4）x2－214=0五里初中-5-（5）2x2－3=0（6）3x2－163=0（7）12y2－25＝0；（8）4122tt（9）04)12(2x（10）x2+4x+3=0（11）x2－6x=－9（12）x2+2x=－121.2.1、配方法主备人：审核：九年级数学组时间：班级姓名学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。教学过程：1、精讲点拨：我们把方程x2+6x－16＝0变形为(x+3)2＝25，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.练一练：配方.填空：（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；（3）x2＋23x＋（）＝（x＋）2；(4)xx642()=4(x－)2=2.....)2(x从这些练习中你发现了什么特点?(1)________________________________________________五里初中-6-(2)________________________________________________2、自主学习：自学P6－p9的内容合作交流；配方法解一元二次方程用配方法解下列方程：（1）x2－6x－7＝0；（2）x2＋3x＋1＝0.解（1）移项，得x2－6x＝____.方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，即（______）2＝____.∴x－3＝____.∴原方程的解是x1＝_____，x2＝_____.（2）移项，得x2＋3x＝－1.方程左边配方，得x2＋3x＋（）2＝－1＋____，即_____________________所以___________________原方程的解是：x1＝______________x2＝___________总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？(移项配方分解因式直接开平方得解)注：配方时方程两边同时加上一次项系数的。深入探究（用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程）例题：用配方法解方程：01322xx解：将二次项系数化为1得：移项得：配方得：分解因式得：直接开平方得：∴原方程的解是x1＝_____，x2＝_____点评：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：(将二次项系数化为1移项配方分解因式直接开平方得解)五里初中-7-用配方法解下列方程：（1）011242xx（2）03232xx达标测评：用配方法解方程：1、x2＋8x－2＝02、x2－5x－6＝0.3.x(x+4)=8x+124、x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).5、2x²+12x+10=06、2x2－x=6拓展提高已知代数式x2－5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？五里初中-8-21.2.2、公式法主备人：审核：九年级数学组时间：班级姓名学习目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。教学过程：复习提问：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程3x2－6x－8=0;3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.ax2＋bx＋c＝0(a≠0).推导公式用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________________＝0.移项，得x2＋abx＝________，配方，得x2＋abx＋______＝______－ac,即(____________)2＝___________因为a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x＝______________________即x_____________________由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：五里初中-9-精讲点拨：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.合作交流b2－4ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？展示反馈①当b2－4ac＞0时，方程有个的实数根；（填相等或不相等）②当b2－4ac＝0时，方程有个的实数根x1＝x2＝；③当b2－4ac＜0时，方程实数根.巩固练习1、做一做：(1)方程2x2－3x+1=0中，a=（）,b=（）,c=（）(2)方程(2x－1)2=－4中，a=（）,b=（）,c=（）.(3)方程3x2－2x+4=0中，acb42=（）,则该一元二次方程（）实数根。(4)不解方程，判断方程x2－4x+4=0的根的情况。深入探究：自学P11页例6，完成下列特别各题：应用公式法解下列方程:(1)、2x2＋x－6＝0；(2)、x2＋4x＝2；(3)、5x2－4x－12＝0；(4)、4x2＋4x＋10＝1－8x.达标测评五里初中-10-（A）1、应用公式法解方程：(1)x2－6x＋1＝0；(2)2x2－x＝6；(3)4x2－3x－1＝x－2；(4)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).（5）（x－2）（x+5）＝8；（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.21.2.3因式分解法主备人：审核：九年级数学组时间：班级姓名学习目标：1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。教学过程：1：知识准备将下列各题因式分解(1)am+bm+cm=;(2)a2－b2=;(3)a2±2ab+b2=(4)232xx=因式分解的方法：解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）2：探究仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？3、归纳：五里初中-11-（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，再使_________________________，从而实现_________________，这种解法叫做______________