6.2等差数列典型例题及详细解答

1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最__大__值；若a10，d0，则Sn存在最__小__值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(√)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(×)(5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(×)(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(√)1．(2015·重庆)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于()A．－1B．0C．1D．6答案B解析由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.2．(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14答案C解析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋3×22×d＝12，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于()A．58B．88C．143D．176答案B解析S11＝11a1＋a112＝11a4＋a82＝88.4．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()A．14B．21C．28D．35答案C解析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.5．(2014·北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．答案8解析因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．题型一等差数列基本量的运算例1(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为()A．2B．10C.52D.54(2)已知在等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10等于()A．100B．210C．380D．400答案(1)C(2)B解析(1)由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝12，所以数列{an}是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋10×10－12×12＝52.(2)因为a2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3，故S10＝10×3＋12×10×9×4＝210.思维升华(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．(1)(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于()A．5B．7C．9D．11(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A.12B．1C．2D．3答案(1)A(2)C解析(1)∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，∴S5＝5a1＋a52＝5a3＝5.故选A.(2)∵Sn＝na1＋an2，∴Snn＝a1＋an2，又S33－S22＝1，得a1＋a32－a1＋a22＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.题型二等差数列的判定与证明例2已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明因为an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝1an＋1－1－1an－1＝12－1an－1－1an－1＝anan－1－1an－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52.所以数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.设f(x)＝1＋22x－7，则f(x)在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.引申探究例2中，若条件变为a1＝35，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，探求数列{an}的通项公式．解由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，即an＋1n＋1－ann＝1，又a1＝35，∴ann是以a11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴ann＝35＋(n－1)·1＝n－25，∴an＝n2－25n.思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，则该数列的通项为()A．an＝1nB．an＝2n＋1C．an＝2n＋2D．an＝3n答案(1)C(2)A解析(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)＝2＋2×2＝6，∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．(2)由已知式2an＋1＝1an＋1an＋2可得1an＋1－1an＝1an＋2－1an＋1，知{1an}是首项为1a1＝1，公差为1a2－1a1＝2－1＝1的等差数列，所以1an＝n，即an＝1n.题型三等差数列的性质及应用命题点1等差数列的性质例3(1)(2015·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.答案(1)10(2)60解析(1)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，∴S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.命题点2等差数列前n项和的最值例4在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．解∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，∴d＝－53.方法一由an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋653.得a13＝0.即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0.∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋12×112×－53＝130.方法二Sn＝20n＋nn－12·－53＝－56n2＋1256n＝－56n－2522＋312524.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.方法三由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.∴5a13＝0，即a13＝0.∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.引申探究例4中，若条件“a1＝20”改为a1＝－20，其他条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值．解由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∴a13＝0.又a1＝－20，∴a120，a140，∴当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值S12＝S13＝13a1＋a132＝－130.思维升华(1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则a．S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；b．S2n－1＝(2n－1)an.(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：a．当a1＞0，d＜0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值Sm；b．当a1＜0，d＞0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值Sm.(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是()A．5B．6C．7D．8(2)设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为()A．5B．6C．5或6D．11(3)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________．答案(1)B(2)C(3)110解析(1)依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6，选B.(2)由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，选C.(3)因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得，Sn＝na1＋nn－12d＝20n－nn－12×2＝－n2＋21n＝－n－2122＋2122，又因为n