多元函数微分学

上页下页返回上页下页返回第一节多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性四、小结思考题上页下页返回上页下页返回（1）邻域0P),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx一、多元函数的概念平面上的一个点，是设xoyyxP),(000是某一正数，的全体，的点距离小于与点),(),(000yxPyxP邻域，的称为点0P).,(0PU记为上页下页返回上页下页返回（2）区域.EE的内点属于EP}41),{(221yxyxE例如，即为开集．是平面上的一个点集，设E是平面上的一个点．P，的某一邻域如果存在点EPUP)(.的内点为则称EP的点都是内点，如果点集E.为开集则称E上页下页返回上页下页返回EP的边界．的边界点的全体称为EE的点，于的任一个邻域内既有属如果点EP的点也有不属于E，本身可以属于（点EP），也可以不属于E的边界点．为则称EP是开集．设D内任何两点，如果对于D都可用折线连结起来，，则称且该折线上的点都属于D是连通的．开集D上页下页返回上页下页返回连通的开集称为区域或开区域．}.41|),{(22yxyx例如，xyo开区域连同它的边界一起称为闭区域.}.41|),{(22yxyx例如，xyo上页下页返回上页下页返回}0|),{(yxyx有界闭区域；无界开区域．xyo例如，}41|),{(22yxyx，如果存在正数对于点集KE使一切点，不超过间的距离与某一定点KAPAEPKAP即成立，对一切EP为有界点集，则称E否则称为无界点集．上页下页返回上页下页返回（3）聚点内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；}10|),{(22yxyx例(0,0)既是边界点也是聚点．是平面上的一个点集，设E是平面上的一个点，P无限多个点属于的任何一个邻域内总有如果点P，点属于点E则称为聚点。上页下页返回上页下页返回点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．}10|),{(22yxyx例如,(0,0)是聚点但不属于集合．}1|),{(22yxyx例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．上页下页返回上页下页返回（4）n维空间n维空间的记号为说明：;nRn维空间中两点间距离公式为取定的一个自然数，设n元数组我们称n的全体为维空间，),...,,(21nxxx元而每个n维空间的一个点，称为数组),...,,(21nxxxn.i个坐标称为该点的第数ix上页下页返回上页下页返回),,,,(21nxxxP),,,,(21nyyyQ.)()()(||2222211nnxyxyxyPQn维空间中邻域、区域等概念nRPPPPPU,||),(00特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．3,2,1n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为上页下页返回上页下页返回（5）二元函数的定义当2n时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数．,是平面上的一个点集设D如果对于每个点定的值按照一定的法则总有确变量zDyxP,),(和它相对应，的二元函数，是变量则称yxz,)).()(,(Pfzyxfz或记为记为上页下页返回上页下页返回例1求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD上页下页返回上页下页返回（如下页图），的定义域为设函数Dyxfz),(对于任意取定的，对应的函数值为),(,).,(yxfzDyxP这样，为横坐标，以x为纵坐标，y为竖坐标在空间z),,,(zyxM就确定一点,的一切点时取遍上当Dx},),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx得一个空间点集的图形。这个点集称为二元函数图形二元函数的),()6(yxfz上页下页返回上页下页返回二元函数的图形通常是一张曲面.上页下页返回上页下页返回xyzoxyzsin例如,图形如右图.2222azyx例如,左图球面.}.),{(222ayxyxD222yxaz.222yxaz单值分支:上页下页返回上页下页返回二、多元函数的极限1定义,),(Dyxfz的定义域为设函数是其聚点，),(000yxP，数如果对于任意给定的正，总存在正数使得对于适合不等式的一切点，20200)()(0yyxxPP成立，都有),(Ayxf时的极限，当为函数则称00,),(yyxxyxfzAAyxfyyxx),(lim00记为）。这里（或0)0(),(PPAyxf上页下页返回上页下页返回说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．上页下页返回上页下页返回例2求证证01sin)(lim222200yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx原结论成立．上页下页返回上页下页返回例3求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1222yxyxx21,00x.0)sin(lim22200yxyxyxyxu2上页下页返回上页下页返回例4证明不存在．证26300limyxyxyx取,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．上页下页返回上页下页返回不存在.观察26300limyxyxyx,263图形yxyxz播放上页下页返回上页下页返回确定极限不存在的方法：），（趋向于）沿（令000,,)1(yxPkxyyxP有关，若极限值与k则可断言极限不存在；式，）找两种不同的趋近方（2,lim00存在使yyxx但两者不相等，在点此时也可断言),(yxf）处极限不存在。（000,yxP上页下页返回上页下页返回n元函数的极限利用点函数的形式有2定义,)(Dpfn的定义域为点集元函数设是其聚点，0P，数总存在正数如果对于任意给定的正，的一切点使得对于适合不等式DPPP00成立，都有)(Apf当元函数为则称)(pfnA时的极限，0PP.)(lim0ApfPP记为上页下页返回上页下页返回三、多元函数的连续性定义3，的定义域为点集元函数设Dpfn)(，是其聚点且DPP00),()(lim00pfpfPP如果处连续。元函数在点则称0Pn的定义域的聚点，是函数设)(0pfP如果处不连续，在点0)(Ppf的是函数则称)(0pfP间断点。上页下页返回上页下页返回例5讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在(0,0)处的连续性．解取,cosxsiny)0,0(),(fyxf)cos(sin332上页下页返回上页下页返回2)0,0(),(fyxf故函数在(0,0)处连续.),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx,0,2当时220yx上页下页返回上页下页返回例6讨论函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性．解取kxy2200limyxxyyx22220limxkxkxkxyx21kk其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．上页下页返回上页下页返回闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在有界闭区域D上的多元连续函数，（1）最大值和最小值定理（2）介值定理在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．上页下页返回上页下页返回（3）一致连续性定理在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．上页下页返回上页下页返回例７.11lim00xyxyyx求解)11(11lim00xyxyxyyx原式111lim00xyyx.21).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP处连续，于是点在的定义域的内点，则是数，且是初等函时，如果一般地，求上页下页返回上页下页返回多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）四、小结多元函数的定义上页下页返回上页下页返回若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00yx时，函数),(yxf都趋向于A，能否断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题上页下页返回上页下页返回思考题解答不能.例,)(),(24223yxyxyxf)0,0(),(yx取,kxy2442223)(),(xkxxkxkxxf00x但是不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取,2yx244262)(),(yyyyyyf.41上页下页返回上页下页返回一、填空题:1、若yxxyyxyxftan),(22,则),(tytxf=____.2、若xyyxyxf2),(22,则)3,2(f__________;),1(xyf________________.3、若)0()(22yyyxxyf,则)(xf________.4、若22),(yxxyyxf,则),(yxf_________.函数)1ln(4222yxyxz的定义域是__________.练习题上页下页返回上页下页返回6、函数yxz的定义域是______________.7、函数xyzarcsin的定义域是_______________.8、函数xyxyz2222的间断点是________________.二、求下列各极限:1、xyxyyx42lim00；2、xxyyxsinlim00；3、22222200)()cos(1limyxyxyxyx.上页下页返回上页下页返回三、证明：0lim2200yxxyyx.四、证明极限yxxyyx11lim00不存在.上页下页返回上页下页返回一、1、),(2yxft；2、1213,),(yxf；3、xx21；4、yyx112；5、xyyxyx4,10),(222；6、yxyxyx2,0,0),(；7、xyxxyx,0),(xyxxyx,0),(；8、02),(2xyyx.二、1、41；2、0；3、.练习题答案上页下页返回上页下页返回第二节偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数三、小结思考题上页下页返回上页下页返回一、偏导数的定义及其计算法定义：的某一领域内有定义在点设函数),(),(00yxyxfz时，处有增量在而固定在当xxxyy00相应的函数有增量),,(),(0000yxfyxxf存在，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000的偏导数，处对在点则称此