初高中衔接教材之--因式分解

15二、因式分解2-1因式与倍式如同因子与倍数的概念，如果代数式A可以写成代数式B与代数式C的乘积，即ABC。此时，我们说B与C是A的因式，而A是B与C的倍式。例如：由232(1)(2)xxxx，可知1x与2x皆为232xx的因式，而232xx为1x与2x的倍式；由22()()xyxyxy，可知xy与xy皆为22xy的因式，而22xy为xy与xy的倍式。下面就让我们先从多项式的除法来认识因式与倍式。【多项式的除法】在小学时，我们会以下列的长除法（直式算法）来求出58除以13的商数为4，余数6：同时，我们也知道：581346类似于自然数的除法，多项式的除法运算也有直式算法（长除法）；为了简化计算，也常使用分离系数法。事实上，这两种方法的差别在于计算过程中，有没有将文字符号写出来而已。【范例1】求2(42)(1)xxx的商式及余式。413）5852616【解】方法一：直式算法方法二：分离系数法答：商式为3x，余式为1。在自然数的除法，我们有下列的规则：被除数除数商数余数，其中，商数和余数为非负整数，且余数小于除数。同样的，在多项式的除法中，我们也有类似的规则：被除式除式商式余式，其中，除式不为零多项式，商式的次数等于被除式的次数减去除式的次数，且余式的次数要小于除式的次数或为零多项式。在完成多项式的除法后，为了验证所得结果是否正确，除了重新检视运算过程外，也常用上述「被除式=除式商式余式」的概念来验算。例如：(1)(3)(1)xx（除式商式余式）2431xx242xx（被除式）【范例2】求32(255)(2)xxxx的商式及余式。【解】答：商式为2x2x1，余式为7。使用分离系数法时，当除式或被除式缺项时，需要补0。1311）142113233121112）251524111215127x3x1）x24x2x2x3x23x31x(x1)3(x1)17【范例3】求(3x22)(2x1)的商式及余式。【解】因为2232302xxx，所以用302来表示3x22。答：商式为32x34，余式为324。【范例4】求322(6748)(32)xxxxx的商式及余式。【解】答：商式为2x3，余式为3x2。【范例5】求(3x38x27x2)(x22x1)的商式及余式。【解】答：商式为3x2，余式为0。【类题练习1】求下列各除法运算的商式及余式：(1)2(25)(3)xxx(2)2(651)(21)xxx(3)4(1)(1)xx(4))5()52(2xxx32121）3872363242242023312）674862490893632323421）302332322323432418当余式为零多项式时，我们称除式整除被除式，例如：在范例5中，x22x1整除3x38x27x2。这时，x22x1与3x2为3x38x27x2的因式，而3x38x27x2为x22x1与3x2的倍式；而在范例4中，所得到的余式3x2不为零多项式，所以232xx与2x3都不是326748xxx的因式。我们知道两个x的一次式乘积展开后成为x的二次多项式。反过来说，如果能将一个x的二次式写成两个x的一次式的乘积，我们称这样的过程为这个二次式的因式分解。在高中的课程中，我们也会将一个多项式写成几个一次或二次的多项式的连乘积，这样的过程也称为这个多项式的因式分解。例如：22xx(1)(2)xx326116xxx=(1)(2)(3)xxx在国中阶段做因式分解时，我们只考虑因式的系数为有理数（整数或分数）的情形。但从此以后，我们将不再要求因式的系数一定是有理数。在2-2至2-4节中，我们将介绍几个常用的方法：提公因式、分组分解、十字交乘和利用乘法公式，并且在2-5节中补充利用配方法做因式分解。【重点整理】1.判别两多项式是否为因倍式关系时，可使用除法所得余式是否为0来判断。因式分解乘积展开因式分解乘积展开19【家庭作业】基础题1.求下列各除法运算的商式及余式：○12(9188)(34)xxx○22(7113)(23)xxx○33(1)(1)xx○43(21)(5)xxx○5432(24)(32)xxxxx○642(1)(1)xx2.已知1)22)((3136323xxbaxxx，求a、b的值。3.已知某多项式除以)12(x，可得商式)12(2xx，余式3，求此多项式。4.已知kxx1343可被(21)x整除，求k的值。5.已知一长方体的体积为6423xxx、长为3x且宽为2x，求此长方体的高。进阶题6.若多项式A除以21x得商式B，余式为3；多项式B除以2x得余式为2，求多项式A除以(21)(2)xx所得的余式。7.求以1x除2102(1)1xxx所得的余式。202-2提公因式作因式分解【从各项提公因式】如果发现多项式的每一项都有共同的因式时，我们可先将此公因式提出。【范例1】因式分解下列多项式：(1)25xx(2)2()2()abab(3)23(2)(2)xyyx【解】(1)25xx5xxx(5)xx(2)2()2()abab(ab)(ab)2(ab)(ab)[(ab)2](ab)(ab2)(3)23(2)(2)xyyx23(2)(2)xyxy2(2)[1(2)]xyxy2(2)(12)xyxy【类题练习1】因式分解下列多项式：(1)246xx(2)27()3()abab(3)23()()xyyx【分组提公因式】当各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，使得每组之间有公因式。【范例2】因式分解下列多项式：(1)321xxx(2)25410xyxy(3)22323axxax(4)222(1)()xyzzxy【解】(1)321xxx2(1)(1)xxx2(1)(1)xx21(2)方法一：25410xyxy(25)(410)xyxy(25)2(25)xyy(25)(2)yx方法二：25410xyxy(24)(510)xyyx（交换律）2(2)5(2)yxx(2)(25)xy(3)方法一：22323axxax2(23)(23)axxax(23)(23)xaxax(23)(1)axx方法二：22323axxax2(22)(33)axaxx2(1)3(1)axxx(1)(23)xax(4)可尝试去括号展开后，再重新分组。222(1)()xyzzxy222xyxyzzxzy222()()xyzxxyzzy()()xyzxyzxzy()()xyxzyzyxz()()yxzxyz【类题练习2】因式分解下列多项式：(1)321xxx(2)2346xyxy(3)25252axxax(4)222(1)()abccab22从前面的例子我们可以看出，某些多项式可能有不只一种分组的方式来做因式分解。【重点整理】1.若代数式各项有公因式时，先将此公因式提出来做因式分解。2.若代数式各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，再提公因式来做因式分解。【家庭作业】基础题1.因式分解下列多项式：○1axx2○22236abab○3xxx2)2(○4(2)(3)4(2)(3)abab○523(3)(3)aaa○6263abab进阶题2.因式分解下列多项式：○142)2(2xx○2)14)(2()2(23xxxx○3xabbxax32)()(○412223xxx232-3十字交乘法作因式分解在多项式的乘法运算中，我们学过2()()()axbcxdacxadbcxbd，其中各项的系数可以用十字交乘的方式来求得因此，我们可以尝试利用上面的方法来因式分解二次多项式。【范例1】因式分解下列多项式：(1)290xx(2)22615xyxy【解】(1)290xx(9)(10)xx(2)22615xyxy(35)(23)xyxy【类题练习1】因式分解下列多项式：(1)25251xx(2)2380xx【范例2】因式分解下列多项式：(1)31342xx(2)21013xx910xx3523xyxybdacadbcabcd常数项2x项系数x项系数24【解】(1)方法一:31342xx211(1)(1)33xx1(1)()3xx方法二:31342xx)143(312xx)1)(13(31xx(2)21013xx)3103(312xx)3)(13(31xx在范例2第(1)题中，1(1)()3xx和)1)(13(31xx都是31342xx的因式分解。事实上，在范例2第(2)题中，)3)(13(31xx、1()(3)3xx和1(31)(1)3xx都是21013xx的因式分解。换句话说，若多项式的系数有分数时，可将原多项式改写成21()axbxcd的形式，其中a、b、c、d为整数，再对2axbxc做因式分解。【类题练习2】因式分解下列多项式：(1)25232xx(2)2613155xx【重点整理】11/3xx313xx311xx251.我们可尝试引用十字交乘来做因式分解。【家庭作业】基础题1.因式分解下列多项式：○133142xx○225510xx○310232xx○429354xx○522714105aabb○622()3()5xyyx○7pqxqpx)(2○82()axabxb进阶题2.因式分解下列多项式：○12441312xx○2()(4)12abab○3xyyxyx6)4)(4(○41)1(2xaax○57)(3)1(222xxxx○622(35)(31)3xxxxbdacadbcabcd262-4利用乘法公式做因式分解对于某些多项式，我们可直接利用乘法公式来作因式分解。【完全平方公式】222()2abaabb222()2abaabb2222()222abcabcabbcca【范例1】利用完全平方公式，因式分解下列各式：(1)269aa(2)224129xxyy(3)22(2)6(2)()9()xyxyyxxy(4)222222abcabbcca【解】(1)269aa22233aa2(3)a(2)224129xxyy22(2)2(2)(3)(3)xxyy2(23)xy(3)22(2)6(2)()9()xyxyyxxy22(2)2(2)[3()][3()]xyxyxyxy2[(2)3()]xyxy2(25)xy（或写成2(25)xy）(4)222222abcabbcca222(2)(22)aabbbccac22()2()abcbac22()2()abcabc2()abc27【类题练习1】利用完全平方公式，因式分解下列各式：(1)21025aa(2)22164025xxyy(3)22(