2015力学竞赛材料力学辅导(复合梁)

全国周培源大学生力学竞赛辅导材料力学李娜1、叠合梁、复合梁2、截面几何性质叠合梁是由同种材料的几根梁所组成的梁，具体变形又可分为界面自由和界面固定两种叠合方式。界面自由：界面固定：各部分的曲率相同，中性轴不同ZEIM11ZEIM210212MMMM0212MMMM界面自由时，两根梁组成的叠合梁所承担的弯矩是单根梁的2倍。相当于一个组合截面，只有一个中性轴总ZEIM1ZZIhbI812)2(3总08MM界面固定时，两根梁组成的叠合梁所承担的弯矩是单根梁的8倍，界面自由时的4倍。界面自由：ZEIM110212MMMM界面自由：ZEIM11例题1自由叠合梁如图，材料的弹性模量为E，在弯矩Me作用下，测得交界面AB处的纵向变形后的长度差为δ，不计梁间的摩擦，求弯矩Me。221eMMM解：属于界面自由变形ZEIM11梁在上下边缘处的应变：1max2ZeEWME上面梁在下边缘处的变形：212ZeEWlMll下面梁在上边缘处的变形：ZeEWlMll22ZeEWlMll12-lEbhMe242246)2(2211bhhbWWzzyyEyE2)2(1)1(0dd212)2(1)1(NAAFAA12zyOE1,A1E2,A2εyOσyO0)dd(1212211AAAyEAyE可以确定中性轴的位置复合梁：由两种或两种以上材料所构成的梁，试验表明复合梁在纯弯曲时，平面假设与单向受力假设仍然成立。中性轴不再通过截面形心，位置发生偏移，偏向弹性模量大的一侧。0222111AyEAyEcc112221-AEAEyyccyyEyE2)2(1)1(0dd212)2(1)1(NAAFAA12zyOE1,A1E2,A2εyOσyOMAyAyAA212)2(1)1(ddMAyEAyEAA)dd(12122212122111IEIEM复合梁：由两种或两种以上材料所构成的梁，试验表明复合梁在纯弯曲时，平面假设与单向受力假设仍然成立。IEM2211IEIEIE对复合梁，可以将多种材料构成的截面转化为单一材料的等效截面，然后按分析一般梁的方法计算求解，称为转换截面法。zyC15025010zyCy1y2例2：一上部为木材、下部为钢板的复合梁，其横截面如图所示，在纵向对称面内（xy平面）作用有正值弯矩M=30kNm。若木材和钢的弹性模量分别为E1=10GPa、E2=200GPa，试用转换截面法求木材和钢板横截面上的最大正应力。解：复合梁横截面两种材料区域均为矩形，转换成T型截面，材料弹性模量取为E2，0dd212211AAAyEAyE由：0d)d(dd2121212121zAAAASAyAnyAyAyEE变化后截面的水平形心轴与原截面中性轴重合05.02001021EEnyIMnyEz1)1(221EEInIIzzyC15025010zyCy1y2zIEMInIEMIIEEEMIEIEM)()(1212212122211又：0zSyIMyEz2)2(等效截面(相当截面)05.02001021EEn1max)1(yIMnz2323)183255(101501210150)125183(25015012250150nnIzzyC15025010zyCy1y2mmmmnnyyc18315010150250255)15010(125)150250(12max)2(yIMz05.02001021EEn471039.2mmMPaMPa5.111039.2183103005.076MPaMPa7.961039.277103076σyO11.5MPa96.7MPammyy7726012例题2第九届竞赛题3解：属于组合梁，建立坐标系（1）转换成T型截面，材料弹性模量为E1212EEn12122111592.0)2(2hnbhbhbhhhnbhhycyzZC（2）集中力作用下的悬臂梁自由端挠度31212321131133.0]2)592.01[(12)5.0592.0(12bhhhnbhnbhhbhbhIIELFwP1333311314.03LbhELIEFPZC（3）交界面上的不产生相对滑动的剪力3311314.03LbhELIEFFPS3211213128.0]2)[(3LhEhyhbILIEbISFczzzss2211321128.028.0LbhEbLLhEAFss梁的上表面上的切应力：ZC（4）计算切应力值，并画切应力分布图])592.0[(23)](21)([(22131yhLEyyyyybbIFbISFcczSzss梁的下表面：y=yc0s梁的中性轴上：y=032112131max53.0)592.0(23LhEhLEZC解：（1）根据惯性矩和惯性积的定义AxdAzI2AzdAxI2AxzzdAxI太极图可看成由Ⅱ和Ⅲ组成，其中Ⅰ和Ⅲ面积相同。Ix（Ⅰ）=Ix（Ⅲ）Iz（Ⅰ）=Iz（Ⅲ）Ixz（Ⅰ）=Ixz（Ⅲ）Ix=Ix（Ⅱ）+Ix（Ⅲ）=Ix（Ⅱ）+Ix（Ⅰ）Iz=Iz（Ⅱ）+Iz（Ⅲ）=Iz（Ⅱ）+Iz（Ⅰ）Ixz=Ixz（Ⅱ）+Ixz（Ⅲ）=Ixz（Ⅱ）+Ixz（Ⅰ）=0Ix=Iz22cos22'sianIIIIIIxzzxzxx由坐标转轴公式，附录A-222sin2cos22'xzzxzxzIIIIII0xzIzxIIzxzxIIII''转轴公式与斜截面上的应力解析公式类似