弹性力学第八章

第八章空间问题的解答弹性力学弹性力学§8-1按位移求解空间问题1.取u,v,w为基本未知函数。2.将几何方程(7-8)代入物理方程(7-14)，得到用位移分量表示的应力分量，公式（8-1）。在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即,112(,,;,,).(8-1),21xyzEμuσμμxxyzuvwEwvτμyz其中体积应变。zwyvxu3.将式(8-1)代入平衡微分方程，得在V内按位移求解空间问题的基本方程：其中拉普拉斯算子,0211122xfuxμμE(,,;,,).(8-2)xyzuvw2222222.xyz,0211122xfuxμμE4.将式代入应力边界条件，得到用位移表示的应力边界条件：,11222xsEμumvunwulfμμxxyxz(,,;,,).xyzuvw()(75)'σs在上,suu()(7-9)us在上(8-1)位移边界条件仍为:(,,;,,).xyzuvw（2）上的应力边界条件(7-5′)；（3）上的位移边界条件(7-9)。归结：按位移求解空间问题，位移必须满足：σsus这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。（1）V内的平衡微分方程(8-2)；wvu,,在空间问题中，按位移求解方法尤为重要：3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。2.未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的应力函数存在。1.能适用于各种边界条件。按位移求解空间轴对称问题:),,(zzρuu,将（8-3）代入平衡微分方程（7-15），位移应满足（8-4）：将几何方程（7-16）代入物理方程（7-20），得到公式（8-3）:轴对称的拉普拉斯算子为2221.σSuS其中体积应变;zuuuz（2）上的应力边界条件（轴对称问题较为简单）（3）上的位移边界条件（轴对称问题较为简单）22210,2112(8-4)10,2(1)12zzuEufEufz（1）V内按位移求解轴对称问题的平衡微分方程弹性力学§8-2半空间体受重力及均布压力设有半空间体，受自重体力及边界的均布压力q。ρgfz采用按位移求解：,0u0,v.(a)wwz考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，可设位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式自然满足，第三式成为常微分方程，22221dd0.2112ddEwwgzz2112.(b)21wzABE积分两次,得.(a)wwz,1Azgσσyx,Azgσz。0xyzxyz(c)代入用位移表示的物理方程，得到应力：（2）在z=0的负z面，应力边界条件为00,0,(d)().zxzyzzzq,1(),(e)0.xyzyzzxxyσσqgzqgz由式(d)求出A，得应力解为,Azgσz位移解为2112.(f)21gqwzBEg若z=h处无位移，则由可以确定B。0)(hzw其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。211221gqBhEg侧面压力与铅直压力之比，称为侧压力系数。即851yxzzσσσσ2211212gwqhzhzE最大位移发生在边界上，即2max011212zghwwqhE当时，侧向变形最大，侧向压力也最大,说明物体的刚度极小，接近于流体。当时，正应力不引起侧向变形。说明物体的刚度极大，接近于刚体。21μxyzσσσ0851yxzzσσσσ讨论课后习题8-3：弹性力学§8-3半空间体在边界上受法向集中力本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，位移而和应满足:,0uρuzu设有半空间体,在o点受有法向集中力F，体力不计。（1）平衡微分方程（书中（8-4））22210,12(a)10,12ρzuuuz.zuuuz其中（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力边界条件为。00,0zz,00,0zzσ(b),0zF;0d20Fσzzz(c)（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：,21212zRRzERFu;122122RzERFuz布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为(8-6)由于轴对称，其余的5个平衡条件自然满足。,3212322RzzRRRFσ,221zRRRzRFσ,2353RFzσz253,2zzFzR1222.Rz其中(8-7)RRzRzR应力特征：;0,应力R。应力,0Rzzσ和（3）水平截面上的全应力，指向F作用点O。（2）水平截面上的应力与弹性常数无关。（1）当当::zzz,3212322RzzRRRFσ,221zRRRzRFσ,2353RFzσz253,2zzFzR201.(8-8)zzFuE水平边界面上任一点的沉陷：22121(8-6)2zFzu;ERR若单位力均匀分布在的矩形面积上，矩形对称轴上距中心为x的点k的沉陷解为：将F代之为，对积分，便得到书上公式(8-9)。baybaFdd1dy,201.(8-8)zzFuE若k点在矩形之外：201.(8-8)zzFuE若k点在矩形中心：201.(8-8)zzFuE弹性力学§8-4按应力求解空间问题按应力求解空间问题的方法：形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。2.其他未知函数用应力表示:1.取σx…τyz…为基本未知函数。因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解全部为应力边界条件的问题().SS222222222222222(8-10)zyyzxzxzyxyx,zyyz,xzzx;yxxy3.在V内导出求应力的方程:从几何方程中消去位移分量。由式（7-8）可得：22222(8-11)2yzxyzxxxyyzyzxxyyzzxz,xxyzyz,yyzxzx.zzxyxy由式（7-8）后三式可得：;,,222222222222222yxxyxzzxzyyzxyyxzxxzyzyz.2,2,2222yxyxzzxzxzyyzyzyxxzzxyzxyyyzxyzxxxyzxyz从几何方程消去位移，导出6个相容方程：（2）相容方程8-10、8-11（6个）。（1）平衡微分方程7-1（3个）。可以证明：如6个形变分量满足方程8-10、8-11，就可以保证位移分量的存在。再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。利用平衡微分方程（7-1）简化以上各式，得到米歇尔相容方程（8-12）。如体力为零或常量，米歇尔相容方程（8-12）简化为贝尔特拉米相容方程（8-13）。4.假设全部为应力边界条件，在上，应满足书中式（7-5）。SS(),(,,).()()xyxzxsxσlσmnfxyzSd在上（1）V内的3个平衡微分方程；SS其中：(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。按应力求解归纳为应力分量应满足：（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。（3）上的3个应力边界条件（假设全部为应力边界条件）；（2）V内的6个相容方程；（2）形变满足相容方程,对应的位移存在且连续物体保持连续；形变不满足相容方程,对应的位移不存在,物体不保持连续。（1）物体满足连续性条件,导出形变和位移之间的几何方程,导出相容方程。对于相容方程说明如下：所以相容方程是位移的连续性条件。（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可参见有关书籍。22d0,(a)dffABxx的解,323d0.(b)dffABxcxx的解,例如：（4）相容方程必须为6个。相容方程和平衡微分方程的数目大于未知函数的数目，是由于微分方程提高阶数所需要的。式是由方程提高阶数得出的，但式增加的解不是原式的解。2cx(b)(a)(b)(a)几何方程中，形变为0阶导数；但在相容方程中形变以2阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。22d0,(a)dffABxx的解,323d0.(b)dffABxcxx的解,在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。应用这些应力函数，也已求出了一些空间问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。弹性力学§8-5等截面直杆的扭转扭转问题也是空间问题的一个特例。根据扭转问题的特性来简化空间问题，就建立了扭转问题的基本理论（1854-1856年，圣维南）。（1）等截面柱体；（2）无体力作用，（3）柱体侧面无面力作用，柱体上、下端面的面力，合成一对力矩M。扭转问题的提出:;0zyxfff,0zyxfff引用按应力求解空间问题的方法－－应力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程及上的应力边界条件。σSS因此,只有，代入3个平衡微分方程得1.由扭转问题特性（体力为0）,因上下端面（）上无面力可设因侧面无任何面力，可设面z；0zσ,zfzyzx,0.(8-14)xyzxyσσ0zx,z。0yxzyzx0zy,z(a),0zyxfff由式(a)前两式，得出仅为（x,y）的函数；第三式成为.(b)zxzyxy.(c)ΦΦxyyxzyzx,又由偏导数的相容性，存在一个应力函数,Φ0zx,z。0yxzyzx0zy,z(a)对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭转应力函数表示为),(yxΦ,yΦzx.zyΦx(8-15).(c)ΦΦxyyx.(b)zx