专题1-数学思想方法问题

数学数学思想方法问题专题一包头地区•数学思想方法是学习数学知识的精髓，是培养数学分析问题、解决问题能力提升的有效途径．在数学学习过程中，如果经常反思总结一些数学思想方法，能达到触类旁通的解题目的，而且能节省审题时间．因此，在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思的环节，力争通过反思数学思想方法达到“做一题，会一类”的目的．•初中数学思想方法主要有：①转化思想；②数形结合思想；③整体思想；④分类讨论思想；⑤函数与方程思想；⑥统计思想；⑦特殊到一般的思想等．命题解读•转化思想是一种最基本的数学思想，基本思路是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规问题化为常规问题，把实际问题数学化，实现不同的数学问题间的相互转化，体现了把不容易解决的问题化为容易解决的问题的思想．•数形结合思想是利用几何图形的性质研究数量关系或利用数量关系研究几何图形的性质，使数量关系与几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决的一种数学思想．数形结合思想方法的应用，可帮助我们理解题意，分清已知量、未知量，理顺题中的逻辑关系．•分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题．转化思想【例1】如图，两条抛物线y1＝－12x2＋1，y2＝－12x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为()A．8B．6C．10D．4借助平移―→阴影部分可转化矩形．A数形结合思想由几何图形―→求△DEF面积―→S关于x的二次函数―→图象形状．【例2】(2014·黄冈)在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在AB上，过点E作EF∥BC，交AC于F，D为BC上的一点，连接DE，DF.设E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为()D分类讨论思想【例3】(2014·威海)已知反比例函数y＝1－2mx(m为常数)的图象在一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．①求出函数解析式；②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD＝OP，则P点的坐标为__________________________________________；若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为____个．(－2，－3)，(3，2)，(－3，－3)4解：(1)根据题意得1－2m＞0，解得m＜12(2)①∵四边形ABOC为平行四边形，∴AD∥OB，AD＝OB＝2，而A点坐标为(0，3)，∴D点坐标为(2，3)，∴1－2m＝2×3＝6，∴反比例函数解析式为y＝6x②∵反比例函数y＝6x的图象关于原点中心对称，∴当点P与点D关于原点对称，则OD＝OP，此时P点坐标为(－2，－3)；∵反比例函数y＝6x的图象关于直线y＝x对称，∴点P与点D(2，3)关于直线y＝x对称时满足OP＝OD，此时P点坐标为(3，2)，点(3，2)关于原点的对称点也满足OP＝OD，此时P点坐标为(－3，－2)．综上可知，P点的坐标为(－2，－3)，(3，2)，(－3，－3)．由于以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1，P2，则点P1，P2满足条件；以O点为圆心，OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3，P4，则点P3，P4也满足条件，故点P的个数为4个注意分类讨论：①P在图象上且OD＝OP：与点D关于原点对称的点P1，与点D关于直线y＝x对称的点P2，与点P2关于原点对称的点P3；②△DOP是等腰三角形：分别以O，D为圆心，OD为半径画弧，与图象的交点即为所求．•请完成本节对应练习