第七章空间问题的基本解法

小结基本方程与边界条件1平衡微分方程（3个）00fijijfσ,2几何方程（6个）)(21,,ijjiijuu)(εuu21应变协调方程：（由几何方程导出，不作为基本方程）第七章空间问题的基本解法3物理方程（6个）ijijijGελθσ2εIσG2λθ0＝ε共15个方程，15个未知函数，在适当的边界条件下可求出iijiju,,4边界条件1位移边界条件（第一类边值问题）uSonuu2应力边界条件（第二类边值问题）Sontnσ3混合边界条件（第三类边值问题）边界SSSuiiuuijijtnfiij平衡方程ijit条件s本构关系几何方程iuiu静力学方面几何学方面条件us相应的解法有：1按位移求解：表示用它量作为基本未知函数，其以iijijiuu,uuSSSS,,适用于：2按应力求解：ijij以作为基本未知函数，其它量用表示,适应于：S3混合解法：作为基本未知函数同时以ijiu,§7-1空间问题的位移解法物理方程)(IεIσuuuGλG2λθ直角坐标：)(,,,ijjiijkkijuuGu代入平衡方程0fijij,0fuuGuiijjjjiijkjk)(,,,得：0fG)u(λuGij,jii20GλG2fuu)(拉梅(Lamé)方程)(,,,ijjiijkkijuuGu边界条件uSonuuSonGt)]uu(I)u([nSontuuGnuiijjiikk)(,,,在直角坐标系中：对于轴对称问题，求解方程成为0)211()1(20)211()1(2222zrrrfwzννEfruurννE对于球对称问题，求解方程成为0)22()21)(1()1(222rrrrfurdrdurdrudνννE§7-2位移势函数当不计体力时，Lamé方程成为如何求解？0G)u(λuGj,jii2引入位移函数,使方程变得简单假设位移是有势的,iiψ2G1u0ψ0ψ2GGλψ210ψ2GGλψ21,i2,i2,i2,jji,i2从而有：为任意常数c,cψ20G)u(λuGj,jii2特别的，取Ｃ＝０，则02,ijijψσ如果找到适当的调和函数,使得能够满足边界条件，就得到该问题的iiG21u，ijij,正确解答。问题归结为ijjiijijjiij2iiiiijijijG2121G21uu21G21G21uGε2λθσ,,,,,,,)()(而此时轴对称问题rGur21zGw21代入无体力的平衡方程中，得到：0z0r22c2取Ｃ＝０,应为调和函数,此时：rzzrrrrzzrzr22222,1,问题归结为如果找到适当的调和函数,使得给出的能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。等,,,rrwu应当指出：并不是所有问题中的位移都是有势的，如果位移势函数存在，常数则22G21c表示体积应变在整个弹性体是常量，这种情况非常特殊，因而位移势函数所能解决的问题极其有限。§7-3伽辽金位移函数来表示函数把位移矢量用一个矢量321eeeφζηξ][k,kii2iξξν)2(12G1u代入无体力的平衡方程中0uGuGjiji2,)(0i4运算后得到：k,kijj,ii,j2k,k2ijijξ)ξ(ξν)(1ξνδσ，，于是，对于一般的空间问题，只须找到三个恰当的重调和函数,使得按上式给出的位移和应力能够满足边界条件，就得到该问题的正确解答。特殊形式函数love00,在直角坐标系可表示为])1(2[21212122222zνGwzyGvzxGu应力分量表达式为])1[(])1[(])1[()()(2222223222222222zνyzνxzyxzνzyνzxνzzxyzxyzyx在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量的表达式为])1(2[211212122222zνGwzrGurGur])1[(])1[(1)(])2[()11()(22222232222222222zνrzνrrzrzνzrrrνzrνzzrzrzr伽辽金位移函数不要求有势，求解范围广。§7-4空间问题的应力解法应力解法以应力张量，即以6个应力分量为基本未知函数。除了满足平衡微分方程和应力边界条件以外，为了保证位移唯一存在，应力(或应变)必须满足应变协调方程。0ee0klqijpiljk,ε0,,2,2ijjiijijijffν1νν11σ对上式进行缩并运算02,222iiiifν13νν11σ02,2iifν1ν)2(1iifν1ν1,2将物理方程代入，并利用平衡微分方程简化得到：代入：将0)f(fδfν1νΘν11σj,ii,jijn,n,ijij2称为密切尔（Michell）方程。iifν1ν1,2在体力为常量的情况下，简化为拜尔特拉密(Beltrami)方程0Θσν)(1,ijij20Θσ2ν)(1不变性型式§7-5应力函数按应力求解：当不计体力时，应力分量应满足：0σij,j平衡微分方程0Θσν)(1,ijij2相容方程仿照按位移求解引入位移函数的思路，引进应力函数，把应力用应力函数表示，并使得平衡方程能自动满足。按应力解法的弹性力学问题就转变为求解以应力函数表示的相容方程。当然，解得的应力还须满足应力边界条件和多连域的位移单值条件。1.麦克斯威尔(Maxwel）应力函数321，，xzyxzyxzyxzyzxzyzyxyx222122221223221232222232,,,则平衡方程恒满足，代入相容方程得到0)(0)(0)(0)(0)(0)(222122322222122222222322122222222322ν1Θxzν1Θzyν1Θyxzν11yzyν11xzxν11zy2.莫勒(Morera)应力函数321，，)(21,)(21,)(21,321323212232112zyxyyxzyxxxzzyxzzyzxzyzyxyx则平衡方程恒满足，代入相容方程得到0)(0)(0)(000232122321223212223222222222122yxν11zyxzxzν11zyxyzyν11zyxxzν11yxyν11xzxν11zy3.拜尔特拉密应力函数（一般形式）Φσ自然满足平衡方程nqmpjpqimnijΦee,100000000ΦnqmpjpqimnijΦee,yxxy2xy22y22x,，000xzyzz,，应力函数为平面问题的Airy特例2321000000ΦnqmpjpqimnijΦee,2322nq3q13n13nq2q12n12nq1q11n11nqmppq1mn1xyzeeeeeeee,,,,Maxwell应力函数3000Φ121323zyx122)(321zyxxyzMorera应力函数nqmpjpqimnijΦee,§7-6叠加原理应用同一弹性体一样（同样的约束）uS简单荷载叠加复杂荷载作用2q1q)(21qq21)(21qq2112描述11ufσ)()(11SVt2222σ)()(ufSVt21212121σσ)()(uuffSVtt则：如弹性体存在齐次约束条件证明和满足如下方程和条件1u1σ)(σ)(0)(0)(12SnSVGGu11111tufuu和满足如下方程和条件22uσ)(σ)(0)(0)(22SnSVGGu22222tufuu将两式相对应的方程和条件相加，得)()σ(σn)(0)()(0)()()()(212SSVGGu2121212121ttuuffuuuu由上式可见，和满足在体力和面力共同作用下的所有方程和条件，因此它们是两组荷载共同作用下的解答。21uu21σσ21ff21tt§7-7解答的唯一性弹性体处于平衡时，体内各点的应力、应变和位移时唯一的。反证设在给定的荷载和位移边界条件下，解答不唯一，即存在两组解222uu1εσεσ11考虑这两组解的差21uuu2121εεεσσσ)()()(S0nσS0uV0σjijuiij,j考虑到上式中的平衡方程，下式积分为零，即0dVuVijij,σ0])[(,,,,,VijijVjiijVjiijiijSjjiijjViijVijijdVdVudVudsundVuudVujiijijjiijijijuuu,,,)(21因为：0VijijdV00ijij必有：只要存在位移边界,则有:21uu2121εεσσ0iu