克莱因-戈登方程和狄拉克方程-黄鹏辉

1目录1摘要..................................................12光波和物质波方程的算符代换形式...........................1一、一次光波方程.................................................................................2二、二次光波方程.................................................................................2三、薛定谔方程.....................................................................................2四、克莱因-戈登方程............................................................................2五、狄拉克方程.....................................................................................3六、相对论近似方程.............................................................................33克莱因-戈登方程..........................................44狄拉克方程..............................................5第一步：建立相对论方程的条件.........................................................5第二步：待定系数能量动量关系.........................................................6第三步：克朗内克δ函数.......................................................................7第四步：泡利矩阵.................................................................................7第五步：狄拉克矩阵.............................................................................7第六步：自由粒子狄拉克方程.............................................................9第七步：力场中的狄拉克方程.............................................................9第八步：狄拉克方程的代数形式.......................................................10第九步：负能量预言正电子[9]..........................................................125相对论波动方程的四维时空表示............................136讨论.................................................15克莱因-戈登方程和狄拉克方程——量子力学基础问题研究(二)北京黄鹏辉中山大学何纯挺、西安交大李伟校对QQ及邮箱：[e-mail]，QQ群696570101摘要本文首先采用源自薛定谔方程的能量、动量算符代换方法，列出了所有可能的光波和物质波方程，其中“一次光波方程”和“相对论近似方程”可能是作者第一次提出，作者期望它们能有一些实际应用价值；而能量、动量算符的正负号成对出现，则是本文的重要特色之一。然后介绍了克莱因-戈登方程和狄拉克方程这两个相对论的物质波方程，其中重点介绍了采用待定系数法推导相对论能量动量关系、并建立狄拉克方程的过程，以及狄拉克把相对论中的负能量处理成正电子的思路。昀后介绍了相对论波动方程的四维时空表示形式，这通常是量子电动力学和量子场论的主要表示形式。2光波和物质波方程的算符代换形式为了统一描述光波方程和物质波方程，这里首先引入两个昀基本的算符：能量算符ˆE、动量算符及其分量算符(,，ˆp,ˆˆˆxyzppp)ˆit∂∂=±Eˆi∇±p=ˆix∂∂±=xpˆiy∂∂±yp=ˆiz∂∂±zp=(2.1)然后对于任何一种可能得到的能量动量关系，用ˆE代换能量E，用代换动量，或者用(,代换动量分量(,ˆpp,ˆˆˆxyzppp),)xyzppp。这种算符代换方法可以很快得到如下方程：2一、一次光波方程光子的能量动量关系为Epc=，可以写成/Ecp=，进行算符代换，就得到第一个光波方程，（这里ψ是否适用于麦克斯韦方程组的电场强度或磁场强度，还是个问题）EB1ctψψ∂=∇∂±(2.2)这个方程在以前的光学或电磁学中没有介绍过，暂且称之为“一次光波方程”。利用波函数公式sin[()]Atkrψω=−ϕ+c和关系式/kω=±，可以验证，(2.2)式是成立的。也就是说，至少sin[()]Atkrψω=−ϕ+是(2.2)式的一个解。此方程的物理意义还有待于探索，作者在这里先提出三种猜测思路：第一，现在有一种观点认为，由一次能量动量关系得到的如薛定谔方程和狄拉克方程，是描述单个粒子行为的；而由二次能量动量关系得到的如“二次光波方程”和克莱因-戈登方程是描述某种场的，是场方程[16]。如果从这个角度理解，“一次光波方程”就有可能是描述单个粒子行为的。如果考虑到每一个波动方程其实都代表着一种粒子存在，即使是声波方程，现在也创造了一个声子模型（这一点极富启发性）。那么，“一次光波方程”描述某种新的粒子就是很有可能的。至于它描述的究竟是哪种粒子，则有待于探索。第二，这种粒子也有可能就是中微子。现在，有两个方程被看作是中微子波动方程的候选者[1]：一个是静止质量00m=的狄拉克方程；另一个是Weyl方程。或许“一次光波方程”也可以作为一个不错的候选者。第三，这个方程也有可能描述的是光或电磁波某种新的状态。当然，这些观点都只是猜测，具体情况还有待于理论的深入探讨和实验的验证。二、二次光波方程光子的能量动量关系写成平方形式，222/Ecp=，再进行算符代换，就得到第二个光波方程。这个方程就是以前经典物理中介绍的标准波动方程，即亥姆霍兹方程，它是麦克斯韦方程组的核心方程，也叫做光学标准波动方程。或许称之为“二次光波方程”更合理。（其中的ψ可以是麦克斯韦方程组中的两个波函数，电场强度E或磁场强度B）22221ctψψ∂=∇∂或写成222210ctψψ∂∇−∂=(2.3)三、薛定谔方程自由粒子的非相对论能量动量关系为22pEm=，哈密顿算符为22ˆ2=m−∇H，算符代换得到自由粒子薛定谔方程：222tmiψψ∂±=−∇∂(2.4)如果用能量算符ˆE和哈密顿算符表示，这种形式称为量子力学标准波动方程ˆHˆˆψψ=HE(2.5)力场中粒子的能量动量关系为22pEmV=+，对应的哈密顿算符为22ˆ2=Vm−∇+（）H，因此，力场中的一般薛定谔方程（含时薛定谔方程）为：22(2Vtmi)ψψ∂±=−∇+∂(2.6)四、克莱因-戈登方程3由相对论的质能公式222201v//cEmcmc−==和动量公式2201v/vv/cpmm−==，可以得到自由粒子的相对论能量动量关系222204Epcmc=+(2.7)算符代换就得到克莱因-戈登方程222202221(mcct)ψψ∂=∇−∂(2.8)五、狄拉克方程薛定谔方程中的哈密顿算符换成20ˆˆ(cmc)β=+iHap，就得到相对论自由粒子狄拉克方程20)ˆˆ(cmcψβψ=+iEap(2.9)其中和123(,,)aaaaβ是44×的狄拉克矩阵。哈密顿算符中再加入势能项V，就得到力场中的狄拉克方程20)ˆˆ(cmcVψβ=++iEapψ(2.10)六、相对论近似方程当m不是正整数时，二项式可在mx)1(+(1,1)x∈−区间内展开为无穷级数2(1)(1)(2)(1)(1)12!!mnmmmmmmnxmxxxn−−−−++=+++++(2.11)当且时，由(2.11)式可以得到，1/2m=−(0,1)x∈232311131351351122424628161xxxxxxx⋅⋅⋅=++++=++++⋅⋅⋅−(2.12)对于相对论质能公式222201v//cEmcmc−==，显然有。因此质能公式符合(2.12)式的展开条件，可以展开为22v/(0,1)c∈242200002422vv135v28161v/mcmmEmcmccc==+++−60+v(2.13)再结合动量公式，（第一次数学近似），就可得到能量动量关系展开式0vpmm=≈224620032542200013528161v/mcpppEmcmmcmcc==+++−+(2.14)取前面两项，应该就是自由粒子相对论能量动量关系的一级近似（第二次数学近似），22002pEmcm+≈(2.15)与自由粒子薛定谔方程的能量动量关系比较，可以发现这里多了一个。再进行算符代换，就可以得到一个新的自由粒子相对论近似波动方程20mc222002(mctmi)ψψ∂±=−∇∂(2.16)如果在力场中，那么相应的波动方程为222002(mcVtmi)ψψ∂±=−∇+∂(2.17)4(2.17)式与一般薛定谔方程(2.6)式比较，也是多了一个项，当静止质量时，(2.17)式就过渡到一般薛定谔方程。从方程的精确度来讲，因为薛定谔方程采用的是经典能量动量关系，而(2.17)式采用的是相对论能量动量关系的一级近似，所以，(2.17)式应该是比一般薛定谔方程更精确的波动方程。从这个角度来讲，一般薛定谔方程似乎应该全面被(2.17)式替代。20mc00m=如果是这样，就有可能引出一个大的研究方向，即所有涉及到薛定谔方程的应用课题，都可以考虑用(2.17)式去替代，看能不能得到新的或精度更高的结果。更进一步，所有这些涉及到薛定谔方程的应用课题，我们还可以考虑用狄拉克方程去替代，或许能够得到更多意想不到的结果。不过，(2.17)式还必须面对几个大问题：第一，(2.17)式经历了两次数学近似，这可能是它昀大的问题。第二，薛定谔方程在其精度范围内的实际应用非常成功，(2.17)式要想全面替代薛定谔方程，还需要在实际应用中体现出其重大价值。第三，具有完全相对论精度的狄拉克方程已经在实际应用中体现出了重大价值，这也给(2.17)式存在的必要性带来了疑问和挑战。第四，在数学上看起来很合理的公式，在物理应用方面是否有重大价值，还须经受多方面的检验。第五，还有一个挑战来自于这种“算符代换方法”的合理性，如果(2.17)式确实能够全面替代薛定谔方程，那么就说明这种方法是合理的，反之，可能就要谨慎使用这种方法。这也正好是对这种“算符代换方法”的一个很好检验。当然，这些问题掩盖不了(2.17)式的优势：比薛定谔方程精度高、比狄拉克方程应用方便，因为只要做代数运算，而不必做繁琐的矩阵运算。因此，(2.17)式仍有存在的价值。3克莱因-戈登方程克莱因-戈登方程和狄拉克方程都是采用的相对论能量动量关系，因此属于相对论的波动方程。但是，现在关于克莱因-戈登方程的资料不仅少，而且都很简略。这表明克莱因-戈登方程的研究不够深入，其应用没有被充分开发。这里作者也只能简略地介绍几点：第一、薛定谔曾经用克莱因-戈登方程计算氢原子中的电子，结果不对。现在发现克莱因-戈登方程是用来描述自由介子的，倪光炯和陈苏卿在《高等量子力学》357页有对π介子原子的相关计算。[3]第二、由相对