相似三角形专题复习经典总结

1相似三角形专题复习考点一：比例线段与黄金分割数例题分析例1[2013·上海]如图22－1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于()A．5∶8B．3∶8C．3∶5D．2∶5例2、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10cm，则PQ长为（）A、)15(5B、)15(5C、)25(10D、)53(5针对性练习1、已知点C是线段AB的黄金分割点AC＝555，且AC＞BC，求线段AB与BC的长。2、△ABC中，D、E、F分别是在AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，那么下列各式正确的是()A.DBAD=ECBFB.ACAB=FCEFC.DBAD=FCBFD.ECAE=BFAD考点二：相似三角形的判定（重点）判定一：AA（基础）1、如图，已知在△ABC中，AE=AC，AH⊥CE，垂足K，BH⊥AH，垂足H，AH交BC于D。求证：△ABH∽△ACKKDABCHE22、判定二：SAS（基础）2、如图；正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD中点，求证：△ADQ∽△QCP3、如图；已知梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC。求证：（1）△ABD∽△DCB（2）BD2=AD·BC3、判定三：SSS（难点）已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．针对性练习1、如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，则图中与△ADC相似的三角形共有（）A、1个B、2个C、3个D、多于3个2．如图，已知⊿ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D，（1）求证：⊿ACE∽⊿ADC；（2）如果CE＝1，CD＝2，求AC的长.ABCDQPADBCAEFGBDCBDEAC第24题33、在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．考点三：相似三角形的比值等量关系（重点）【例题1】、如图,ΔABC中,∠BAC=900,D是BC的中点,DF⊥BC,交BA的延长线于F,交AC于E.求证:AD2=DE·DF.【例题2】已知:如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.求证:CE2=ED·EP.【例题3】已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点求证：MD：ME＝ND：NENDCAEBM44、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．针对性练习1、.如图，在ABC△中，90BAC，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与BC，重合），EFAB，EGAC，垂足分别为FG，．（1）求证：EGCGADCD；2、如果四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线OG∥AB交BC于E，交AD于F，交CD的延长线于G，求证：OG2=GE·GF.FAGCEDB53、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于E．考点四：相似三角形的性质考题【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC＝4：5，AE交BD于F，则BF：FD等于（）A、4：5B、3：5C、4：9D、3：8【例题2】如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【例题3】如图6，BE,CD是的边AC,AB上的中线,且相交于点F.则：ABCADESS=，EFDBFCSS=。【例题4】如图7,∠C=90，四边形DEFG是正方形，AE=4，BF=9，则正方形DEFG的面积是【例题5】（2014•滨州，第15题4分）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=．ADBFCCABDGFE6针对性练习1、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：22、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．83、（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：54、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．aB．C．D．4、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）7A．16B．17C．18D．195、小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．12C．D．6、、（2013•眉山）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为16．7、（13年安徽省4分、13）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。若S=2，则S1+S2=考点五：相似三角形的动点问题【例题1】（2014•安徽省,第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）8A．B．C．D．【例题2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5【例题3】（2014•滨州，第25题12分）如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t为何值时，DP⊥AC？②设S△APQ+S△DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．【例题4】2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；9（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；【例题5】（2014•珠海，第21题9分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小（3）求证：=．针对性练习1、（2013•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时，AD的长为；②当AC=3，BC=4时，AD的长为；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．102、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB=x，AD=y（1）求y与x的函数关系式；（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；（3）若∠APD=90°，求y的最小值．3、（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．4、（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．115、（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．