立体几何中的折叠问题题目

ABCD图2BACD图1折叠问题解决折叠问题的时候，特别要注意哪些角度和长度在折叠前后是不变的！1、如图（1），ABC是等腰直角三角形，4ACBC，E、F分别为AC、AB的中点，将AEF沿EF折起，使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．（1）求证：EFAC；（2）求三棱锥BCAF的体积．2.如图，在等腰梯形PDCB中，3,1,2,PBDCPDBCA为PB边上一点，且1,PA将PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；(Ⅱ)若M是侧棱PB中点，求截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比.3.如图1,在直角梯形ABCD中,90ADC,//CDAB,4,2ABADCD.将ADE沿AC折起,使平面ADE平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.(Ⅰ)求证:BC平面ACD；(Ⅱ)求几何体DABC的体积.DCPBAABDCPM4.高.考.资.源.网如图1，在直角梯形ABEF中（图中数字表示线段的长度），将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图2．高.考.资.源.网（Ⅰ）求证：//BE平面ADF；高.考.资.源.网（Ⅱ）求三棱锥FBCE的体积．高.考.资.源.网高.考.资.源.网高.考.资.源.网高.考.资.源.网高.考.资.源.网高.考.资.源.网高.考.资.源.网高.考.资.源.网高.考.资.源.网高.考.资.源.网高.考.资.源.网图１图２2111ABCDEF1FEDCBAGABCDEF1、（1）证明：在ABC中，EF是等腰直角ABC的中位线，EFAC-----2分在四棱锥BCEFA中，EAEF，ECEF，----4分又EEAEC\EF平面AEC，-----5分又CA平面AEC,EFAC------6分（2）在直角梯形EFBC中，4,2BCEC,421ECBCSFBC----8分又AO垂直平分EC，322EOEAOA-----10分∴FBCABCAFVVOASFBC313431334-----12分2.(Ⅰ)证明：依题意知1,PA2PDADAB，又CD∥ABCDAD……………………3分又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，由面面垂直的性质定理知，CD平面PAD…………………………………….………………………………6分(Ⅱ)解：设N是AB的中点，连结MN,依题意，PAAD,PAAB,所以，PA面ABCD,因为MN∥PA，所以MN面ABCD.………………………………8分111112233226MABCABCVMNS………………………………10分11112111332322PABCDABCDCDABVPASPAAD…………11分所以，111263PADCMPADCBMACBVVV……………12分:PADCMMACBVV两部分体积比为2:1………………………………14分3.解:（Ⅰ）在图1中,可得22ACBC,从而222ACBCAB,故ACBC取AC中点O连结DO,则DOAC,又面ADE面ABC,面ADE面ABCAC,DO面ACD,从而OD平面ABC,……4分∴ODBC又ACBC,ACODO,∴BC平面ACD……6分另解:在图1中,可得22ACBC,从而222ACBCAB,故ACBC∵面ADE面ABC,面ADE面ABCAC,BC面ABC,从而BC平面ACD(Ⅱ)由（Ⅰ）可知BC为三棱锥BACD的高.22BC，2ACDS……9分所以1142222333BACDVSh……11分由等积性可知几何体DABC的体积为423……12分4.高.考.资.源.网证明：（Ⅰ）证法一：取DF中点为G，连结AG，EG中，…………1分∵12CEDF，∴//EGCD且EGCD…………2分又∵//ABCD且ABCD，∴//EGAB且EGAB…………3分四边形ABEG为平行四边形，∴//BEAG…………4分HABCDEF∵BE平面ADF，AG平面ADF，∴//BE平面ADF，………………7分证法二：由图1可知//BCAD，//CEDF…………1分折叠之后平行关系不变∵BC平面ADF，AD平面ADF，∴//BC平面ADF，同理//CE平面ADF…………4分∵BCCEC，,BCCE平面BCE，∴平面//BCE平面ADF…………6分∵BE平面BCE，∴//BE平面ADF…………7分（Ⅱ）解法1:∵FBCEBCEFVV…………8分由图1可知BCCD∵平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCDBC平面ABCD，∴BC平面DCEF，…………11分由图1可知1DCCE1122CEFSCEDC…………12分∴1136FBCEBCEFCEFVVBCS解法2:由图1可知CDBC，CDCE∵BCCEC∴CD平面BCE，…………9分∵//DFDC点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，…………11分由图1可知1BCCE1122BCESBCCE…………12分∴1136FBCEBCEVCDS解法3:过E作EHFC,垂足为H,…………8分由图1可知BCCD∵平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCDBC平面ABCD，∴BC平面DCEF，∵EH平面DCEF∴BCEH，EH平面BCF…………11分由BCFC，225FCDCDF，1522BCFSBCDF，…………12分在CEF中,由等面积法可得15EH…………13分∴1136FBCEEBCFBCFVVEHS…………14分