一元二次方程的实际应用——李志远

初中数学电子教案涿州市松林店中学李志远☆教案名称：人教版九年级数学上册第二十二章一元二次方程小结与复习课第二课时：一元二次方程的实际应用☆教学内容：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要的地位。通过一元二次方程的学习，可以对已经学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其他高次方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。本课重点是一元二次方程的应用。本节课共设置了三种类型的问题：有关增长率问题、有关图形问题、每每型问题。☆教学目标：知识与技能：1、能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解的合理性。过程与方法：1、经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并宁运用一元二次方程对之进行描述。2、通过解决实际问题，学会将实际问题转化为数学问题，体会解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。情感与态度：1、通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。2、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.☆教材分析：一元二次方程是初中数学的重要内容，在历年中考中均占有比较重要的地位．直接或间接考查本章内容的考题约占14～20分，分值比例在15%左右，近几年还有上升趋势．考查题型有填空题、选择题、解答题，基础题、中等题、难题均有涉及，对解一元二次方程、分式方程的考查在基础题和中等题中屡见不鲜，而以现实生产和生活为背景的实际型应用题又成了近几年中考查的热点．并且常与二次函数、解直角三角形、圆等知识综合命题作为中考压轴题．另外还常考查隐含条件（如二次项系数不为0，应用根与系数关系解题时，根的判别式要大于或等于0等）的掌握情况．☆教学重点：列一元二次方程解实际问题。☆教学难点：发现问题中的等量关系。☆教学过程：一、情境激趣、开放导入教师提出问题，学生回忆并作答。列方程解应用题的一般步骤。教师应关注：学生能否说出每一步的关键和应注意的问题。本章知识结构图二、尊重个性、设计学法1、出示三维目标。2、指导学生学法：自主学习、小组合作、师生探究等。3、数学思想：方程思想、转化思想、建模思想等。4、数学方法：配方法、消元法等。三、自主学习、个人尝试（一）、有关增长率问题求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义．一般地，如果某种量原来是a，每次以相同的增长率（或减少率）x增长（或减少），经过n次后的量便是(1)nax（或(1)nax）．例１（广东）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．解析：3月份到5月份月增长是经过2次增长，平均月增长率是每次增长的百分数相同．设平均月增长率为x，则六月份的营业额是：3月份的营业额2(1)x，因此，应先求3月份的营业额．显然，3月份的营业额是2月份的营业额(110)400(110)440％％，故依题意，得2440(1)633.6x，2(1)1.44x，两边直接开平方，得11.2x，所以120.2202.2xx％，（不合题意，舍去）．练习1、（郴州）今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内降低农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求每年降低的百分率；（2）若小红家有四人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡有16000个农民，问该乡农民减少多少农业税？设计意图：教师要给学生自主学习的机会，给予学生一定时间去思考，充分讨论，争取让学生自主得出结论，鼓励学生大胆猜想，勇于发表见解。四、小组合作、交流解疑（二）、有关图形问题例２（镇江）学校为了美化校园环境，在一块长40米，宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米，宽7米的长方形花圃．（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案；（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．解析：（1）学校计划新建的花圃的面积是9763（平方米），比它多1平方米的长方形面积是64平方米，因此可设计以下方案：方案一：长和宽都是8米；方案二：长为10米，宽为6.4米；方案三：长为20米，宽为3.2米．说明：显然，此方案很多，但要注意空地的大小实际．（2）假设在计划新建的长方形周长不变的情况下长方形花圃的面积能增加2平方米．由于计划新建的长方形的周长是2(97)32（米），设面积增加后的长方形的长为x米，则宽是(322)2(16)xx（米），依题意，得(16)65xx，整理，得216650xx，因为224(16)46540bac，此方程没有实数根，所以，在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米．练习2、如图，某中学为方便师生活动，准备在长30米，宽20米的矩形草坪上修筑两横两纵，四条小路，横纵路的宽度之比为3：2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？设计意图：在某些解法中，利用图形变换简化数量关系式解决图形有关问题的一种重要手段，教师应关注：学生对几何图形的分析能力，以及解一元二次方程的能力。在数量关系中做进一步的分析，然后引导学生针对图形作进一步的探究。教师可以给学生动手实践的机会，给学生一定的空间去发挥想象，同时也要注意对图形变换的指导，可以对部分不太合适的答案也进行一下点评。五、师生探究、突破难点（三）、每每型问题例3（江苏常州市）春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解析：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游，因为2700025000251000，所以工人数一定超过25人。可得方程27000)25(201000xx。整理，得01350752xx，解得：30,4521xx。当451x时，700600)25(201000x，故舍去1x。当452x时，700900)25(201000x，符合题意。所以该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游。练习3、某商店从厂家以21元价格购进一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20％，商店计划要赚400元，请你给商品定出单价和卖出的件数．设计意图：教师因拿到学生对于一类应用题进行总结回顾，学生可以在回忆和思考中加深对课堂知识的理解，加强记忆和应用能力。六、当堂训练、拓展延伸1、(陕西）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是25400cm，设金色纸边的宽为cmx，那么x满足的方程是（）Ａ．213014000xxＢ．2653500xxＣ．213014000xxＤ．2653500xx2、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？3、用一条长40米的绳子怎样围成一个面积为75平方米的长方形？能围成一个面积为101平方米的长方形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由。4．人民商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了尽快减少库存，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）如果商场平均每天需要盈利1200元，那么每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多为多少元？如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元七、交流体验、调控心态本节课你有什么收获？还有哪些困惑？布置作业：见教科书48页习题22.3有余力：已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：nnxnxxxxxx0130322021012222……（1）请解上述一元二次方程1、2、3、n；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。解析：（1）解方程1，得x1=-1，x2=1；解方程2，得x1=-2，x2=1；解方程3，得x1=-3，x2=1；……；解方程n，得x1=-n,x2=1。（2）不难发现这些方程的共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等。☆课后反思：本节课之前已经讨论过解一元二次方程的几种方法，本节课重点是进一步反映已于二次方程与实际问题的密切关系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。由于本节课的问题背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立一元二次方程是主要难点。突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。教学中可以引导学生结合具体为题认识本章知识结构图，是学生对数学建模思想和列一元二次方程的基本过程进行概括，从而加深对知识结构图的理解，取得较好的复习效果。