集合知识点及题型归纳总结(含答案)

集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如,,,,abcacb．3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．4．常用数集的表示R一实数集Q一有理数集Z一整数集N一自然数集*N或N一正整数集C一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作aA)和不属于(记作aA)两种．空集：不含有任何元素的集合，记作．2．集合与集合之间的关系（1）包含关系．子集：如果对任意aAAB，则集合A是集合B的子集，记为AB或BA，显然AA．规定：A．（2）相等关系．对于两个集合A与B，如果AB，同时BA，那么集合A与B相等，记作AB．（3）真子集关系．对于两个集合A与B，若AB，且存在bB，但bA，则集合A是集合B的真子集，记作ABÜ或BAÝ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11所示．表11交集|ABxxAxB且并集|ABxxAxB或ABAB补集IAð|IAxxIxA且ð1．交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，即|ABxxAxB且．2．并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，即|ABxxAxB或．3．补集已知全集I，集合AI，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A相对于全集I的补集，记作IAð，即|IAxxIxA且ð．四、集合运算中常用的结论1．集合中的逻辑关系（1）交集的运算性质．ABBA，ABA，ABBAIA，AAA，A．（2）并集的运算性质．ABBA，AAB，BABAII，AAA，AA．（3）补集的运算性质．()IIAA痧，IIð，IIð()IAAð，()IAAIð．补充性质：IIIABAABBABBAAB痧?．（4）结合律与分配律．结合律：()()ABCABC()()ABCABC．分配律：()()()ABCABAC()()()ABCABAC．（5）反演律（德摩根定律）．()()()IIIABAB痧?()()()IIIABAB痧?．即“交的补补的并”，“并的补补的交”．2．由*(N)nn个元素组成的集合A的子集个数A的子集有2n个，非空子集有21n个，真子集有21n个，非空真子集有22n个．3．容斥原理()()()()CardABCardACardBCardAB．题型归纳及思路提示IAðAI题型1集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．例1.1设,abR，集合1,,0,,bababa，则ba（）A．1B．1C．2D．2解析：由题意知01,,aba，又0a，故0ab，得1ba，则集合1,0,0,1,ab，可得1,1,2abba，故选C。变式1（2012新课标理1）已知集合1,2,3,4,5,(,)|,ABxyxAyA，则B中所含元素的个数为（）．A．3B．6C．8D．10变式2（2013山东理2）已知集合0,1,2,|,ABxyxAyA中元素的个数为（）．A．1B．3C．5D．9变式3若集合,,lg()0,||,xxyxyxy，则x，y．题型2集合间的基本关系思路提示（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．一、集合关系中的判断问题例1.2若|41,,|43,,|81,AxxnnZBxxnnZCxxnnZ，则A，B，C之间的关系为（）．A．CBA苘B．ABCÜC．CABÜD．ABC解析：解法一：集合B中元素434(1)1,xnnnZ，故集合AB，而集合C中元素421,xnnZ，故CAÜ．解法二：列举,7,3,1,5,9,,,7,3,1,5,9,AB，,7,1,9,C．因此CABÜ，故选C．评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法．变式1设集合1|,24kMxxkZ，1|,42kMxxkZ，则A．MNB．MNÜC．MNÝD．MN例1.3设2|8150,|10AxxxBxax.（1）若15a，试判断集合A与集合B的关系；（2）若BA，求实数a组成的集合C.分析：（1）先求集合A，再由15a求集合B，确定A与B的关系.（2）解方程10ax，建立a的关系式求a，从而确定集合C.解析：（1）由28150xx得3x或5x，所以3,5A.若15a，得1105x，即5x，所以5B，故BAÜ.（2）因为3,5A，又BA.①当B时，则方程10ax无解，则0a；②当B时，则0a，由10ax，得1xa，所以13a或15a，即13a或15a故集合11035C，，.评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.（2）含参数的一元一次方程axb解的确定：当0a时，方程有唯一实数解bxa；当0ab时，方程有无数多个解，可为为任意实数；当0a且0b时，方程无解.变式1已知集合2|3100Axxx，集合|121Bxpxp，若BA，求实数p的取值范围.二、已知集合间的关系，求参数的取值范围例1.4（2012大纲全国理2）已知集合1,3,,1,,AmBmABA，则m（）A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3解析：由ABA，得BA，故3m或mm且1m，所以0m或3.故选B.变式1已知集合|36,|,AxxBxxaaR，若AB，则实数a的取值范围是.变式2已知集合|1,|AxxBxxa，且ABR，则实数a的取值范围是.变式3已知集合2|1,PxxMa，若PMP，则a的取值范围是（）A．(,1]B．[1,)C．[1,1]D．(,1][1,)三、集合关系中的子集个数问题例1.5已知集合2|3100,AxxxxZ，则集合A的子集个数为.分析：本题应首先确定集合A中元素的个数，再求其子集的个数.解析：集合2|3100,2,1,0,1,2,3,4,5AxxxxZ，共8个元素，则集合A的子集的个数为82256.例1.6已知集合2|320,,|05,NAxxxxRBxxx，满足条件ACB的集合C的个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：由1,2,1,2,3,4AB且ACB，得集合C是集合1,2与集合3,4的任一子集的并集，即求集合3,4的子集的个数为224，故选D.变式1已知集合M满足*1,2|10,NMxxxÜ，求集合M的个数.题型3集合的运算思路分析凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.一、集合元素属性的理解例1.7已知集合22|1,,|9MyyxxRNxyx，则MN（）A．|13xxB．|13xxC．|13xxD．|14xx分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断M、N是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合M代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合N的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.解析：2|1,|1MyyxxRyy，22|9|90Nxyxxx，即|33Nxx，所以|13MNxx，故选C.评注：几量遇到集合的运算（交、并、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合|(),yyfxxA是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合(,)|(),xyyfxxA是点集，表示函数()yfx图像上所有点的集合.再如集合22|1,,MxxyxyR，可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集合|11yy，表示的是数集[1,1]；2(,)|0,,NxyxyxyR表示的是曲线20xy，即抛的线2yx上所有点构成的集合，它表示的是点集，故有MN.另如22(,)|4,|MxyxyNyyx，则有MN，而易错为(2,2),(2,2)MN.变式1集合2|03,|9PxZxMxRx，则PM（）.A．1,2B．0,1,2C．|03xxD．|03xx变式2已知集合1||3||4|9,|46,0AxRxxByRyxxx，则集合AB.变式3设全集(,)|,IxyxyR，集合3(,)|1,(,)|2yMxyNxyyxx，那么()()IIMN痧（）A．B．(2,3)C．(2,3)D．(,)|1xyyx变式4已知集合2(,)|20,AxyxmxyxR，(,)|10,0Bxyxyx，若AB，求实数m的取值范围.二、数轴在集合运算中的应用例1.8设集合||2|3,|8,SxxTxaxaSTR，则a的取值范围是（）A．(3,1)B．[3,1]C．([1,)D．((1,)分析：借助数轴表示集合S和集合T，根据集合的关系，求解参数的取值范围.解析：因为15,|8SxxTxaxa或，集合S，T在数轴上的表示如图1-1所示.因为STR，所以185aa，可得31a.故选A.变式1已知集合||2|3AxRx，集合|()(2)0BxRxmx，且(1,)ABn，则m，n.变式2已知全集UR，集合|23,|14AxxBxxx或，那么集合()UABð（）.A.|24xxB.|34xxx或C.|21xxD.|13xx1a58a图1—1变式3已知集合3|0,|31xMxNxxx，则集合|1xx（）.A．MNB．MNC．()RMNðD．()RMNð三、韦恩图在集合运算中的应用例1.9设U为全集，M，P是两个非空集合，定义M与P的差集|MPxxMxP且，则()MMP