第一章-数轴思维拓展专题

数轴思维拓展专题2009.09.26在解决比较数的大小、绝对值、相反数、距离等问题时常会用到数轴这一工具。要灵活地运用这个工具，必须理解其三要素，即原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。首先要会画出数轴，能够读出数轴上的点的数，能够在数轴上表示各数的点。例1在数轴上画出表示下列各数的点：13,2,3.5,1,02解：如图所示：-5-21324-15-3-40112-2-3.503注：○1画数轴一定要有正方向、原点和单位长度，并在数轴的刻度下面标上相应的数字。○2把题目中要表示的数字标在相应刻度的上面，如上图所示。其次，在数轴上，互为相反数的两点到原点的距离相等。反过来，两点到原点的距离相等的的数互为相反数。第三，要学会通过数轴比较数的大小。如图：0cba由图可知：1、a0,b0,c0.（数轴左边的数小于0，数轴右边的数大于0）2、|a||c||b|.（绝对值是点到原点的距离）3、abc.（数轴上从左往右数越来越大）a-cb-bc-a.（a与-a，b与-b，c与-c互为相反数，关于原点对称）4、a-b0,b-c0,a-c0（小-大0）b-a0,c-b0,c-a0（大-小0）5、a+b0,a+c0,b+c0.（同号相加去相同的符号；异号相加取绝对值大的符号，并用绝对值大的减去绝对值小的）6、|a|=-a,|b|=-b,|c|=c.|a-b|=b-a,|b-c|=c-b,|a-c|=c-a.|b-a|=b-a,|c-b|=c-b,|c-a|=c-a.（正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数）注：“假设a=-3,b=-1,c=2”这种做法是错误的。7、(a+b)(b+c)0,(a-b)(b-c)0,(a+c)(b-c)0.（先判断括号内的符号，再根据同号得正、异号得符判断最后的符号）（当有多个括号时如(a+b)(b-c)(a-c)时，先判断括号内的符号，再根据“奇数个符合得负，偶数个符合得正”判断最后的符号）例2数a、b、c在数轴上对应点如图所示，化简|c-a|-|a+c|+|a-c|-|c-b|.0abc解：由图可知：c-a0,a+c0,a-c0,c-b0.所以|c-a|=-(c-a)=a-c,|a+c|=-(a+c)=-a-c,|a-c|=a-c,|c-b|=-(c-b)=b-c.所以原式=(a-c)-(-a-c)+(a-c)-(b-c)=a-c+a+c+a-c-b+c=3a-b.例3有理数a,b在数轴上位置如下图所示，则11___,___abab.ba-10分析：这是一个填空题，不是解答题，所以可以用简便的方法。令21,33ab,则132a，131b；21,33ab易知：3321,2133所以，11,abab.注：此方法仅适用于选择题和填空题，解答题不适用。例4已知-1x0,则比较11,,xxxx,的大小。用“”连接起来______.分析：令12x,则12x，12x，12x显然112222，则11xxxx.注：此方法仅适用于选择题和填空题，解答题不适用。例5如图数a、b、c在数轴上对应点如图所示，0cba化简○1abcabc;○2abbcacabcabbcacabc;○3abacbcabcabcabc.解：○1因为0,0,0abc，所以,,aabbcc.则原式=(1)(1)11abcabc.○2因为b0,0,0,0abcacabc，所以bb,,,aabcbcacacabcabc.则原式=1abbcacabcabbcacabc(-1)+(-1)+1=0.○3因为a-b0,a+c0,b+c0,所以,,abbaacacbcbc.则原式=baacbcabcabcabc1baacbcabc1baacbcabc10abc=0.其中，只要能够熟练得判断有理数的符号（正数、0、负数）,能够掌握好有理数的绝对值以及有理数的加减法和乘除法，能清晰的分辨正数和负数、加号和减号的区别并认真、仔细地去解决问题，真正理解其本质含义，则这类型问题可以迎刃而解。