反比例函数(基础)知识讲解

反比例函数（基础）【学习目标】1.理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2.能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3.会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xyk，或表示为kyx，其中k是不等于零的常数.一般地，形如kyx(k为常数，0k)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，定义域是不等于零的一切实数.要点诠释：（1）在kyx中，自变量x是分式kx的分母，当0x时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y.故函数图象与x轴、y轴无交点；（2）kyx()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）kyx()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数kyx中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对xy、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：kyx(0k)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k的值；（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx中.要点三、反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点(ab，)在反比例函数kyx的图象上，则点(ab，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k为常数，0k)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴．2、反比例函数的性质（1）如图1，当0k时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；（2）如图2，当0k时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.要点四、反比例函数()中的比例系数k的几何意义过双曲线xky(0k)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k.过双曲线xky(0k)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、在下列函数关系式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？（1）5xy；（2）3yx；（3）23yx；（4）12xy；（5）21yx；（6）2yx；（7）12yx；（8）5ayx（5a，a是常数）【答案与解析】解：根据反比例函数(0)kykx的形式及其关系式xyk，1ykx，可知反比例函数有：(2)(3)(4)(6)(7)(8)．【总结升华】根据反比例函数的概念，必须是形如kyx(k为常数，0k)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意kyx(k为常数，0k)常见的变化形式，如xyk，1ykx等，所以(4)(7)也是反比例函数．在(5)中，y是1x的反比例函数，而不是x的反比例函数．(1)中y是x的正比例函数．类型二、确定反比例函数的解析式2、已知正比例函数ykx和反比例函数3yx的图象都过点A(m，1)．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．【答案与解析】解：因为3yx的图象经过点A(m，1)，则31m，所以m＝3．把A(3，1)代入ykx中，得13k，所以13k．所以正比例函数关系式为13yx．由1,33,yxyx得3x．当3x时，1y；当3x时，1y．所以另一个交点的坐标为(－3，－1)．【总结升华】确定解析式的方法是特定系数法，由于正比例函数ykx中有一个待定系数，因此只需一对对应值即可．举一反三：【变式】已知y与x成反比，且当6x时，4y，则当2x时，y值为多少？【答案】解：设kyx，当6x时，4y，所以46k，则k＝－24，所以有24yx．当2x时，24122y．类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21ayx（a为常数）的图象上有三点(11xy，)，(22xy，)，(33xy，)，且1230xxx，则123yy，y，的大小关系是（）．A．231yyyB．321yyyC．123yyyD．312yyy【答案】D；【解析】解：当0k时，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大．此题中需要注意的是(11xy，)，(22xy，)，(33xy，)不在同一象限内．因为221(1)0kaa，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y随x的增大而增大．因为12xx，所以12yy．因为33(,)xy在第四象限，而11(,)xy，22(,)xy在第二象限，所以31yy．所以312yyy．【总结升华】已知反比例函数kyx，当k＞0，x＞0时，y随x的增大而减小，需要强调的是x＞0；当k＞0，x＜0时，y随x的增大而减小，需要强调的是x＜0．这里不能说成当k＞0，y随x的增大而减小．例如函数2yx，当x＝－1时，y＝－2，当x＝1时，y＝2，自变量由－1到1，函数值y由－2到2，增大了．所以，只能说：当k＞0时，在第一象限内，y随x的增大而减小．举一反三：【变式】已知2(3)mymx的图象在第二、四象限，(1)求m的值．(2)若点(－2，1y)、(－1，2y)、(1，3y)都在双曲线上，试比较1y、2y、3y的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130mm，∴1m.(2)由(1)得此函数解析式为：2yx．∵(－2，1y)、(－1，2y)在第二象限，－2＜－1，∴120yy．而(1，3y)在第四象限，30y．∴312yyy类型四、反比例函数综合4、已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P在函数1yx的图象上，如果△PAB的面积是6，求P点的坐标．【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P的坐标为00(,)xy，过P作PC⊥y轴于点C．∵A(0，2)、B(0，－2)，∴AB＝4．又∵0||PCx且6PABS△，∴01||462x，∴0||3x，∴03x．又∵00(,)Pxy在曲线1yx上，∴当03x时，013y；当03x时，013y．∴P的坐标为113,3P或13,3．【总结升华】通过三角形面积建立关于0x的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：【变式】已知：如图所示，反比例函数kyx的图象与正比例函数ymx的图象交于A、B，作AC⊥y轴于C，连BC，则△ABC的面积为3，求反比例函数的解析式．【答案】解：由双曲线与正比例函数ymx的对称性可知AO＝OB，则1322AOCABCSS△△．设A点坐标为(Ax，Ay)，而AC＝|Ax|，OC＝|Ay|，于是1113||||2222AOCAAAASACOCxyxy△，∴3AAxy，而由AAkyx得AAxyk，所以3k，所以反比例函数解析式为3yx．