点-直线-平面的位置关系练习题型总结

1.(2009·湖南)平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A.3B.4C.5D.6解析如图所示,用列举法知符合要求的棱为BC、CD、C1D1、BB1、AA1.C2.(2009·湖南)正方体ABCD—A1B1C1D1的棱上到异面直线AB、CC1的距离相等的点的个数为()A.2B.3C.4D.5解析如图所示,棱BC的中点M到异面直线AB、CC1的距离都等于棱长的一半,点D、B1到异面直线AB、CC1的距离都等于棱长,棱A1D1的中点到异面直线AB、CC1的距离都等于棱长的倍.25C3.平面∥平面的一个充分条件是()A.存在一条直线a,B.存在一条直线a,C.存在两条平行直线a,b,D.存在两条异面直线a,b,解析故排除A.故排除B.故排除C.//,//aa//,aa//,//,,baba//,//,,baba,//,//,,,//,aaaalal若,//,//,,alaal则若,//,//,//,,//,,balbblaal则若D4.已知两条直线m,n,两个平面给出下面四个命题:①②③④其中正确命题的序号是()A.①③B.②④C.①④D.②③解析②中,m,n有可能是异面直线;③中,n有可能在上,都不对,故选C.nmnm,//////,//nmnmnmnm//,,//nmnm,//,//C,,题型一空间点、线、平面之间的位置关系【例1】如图所示,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形；(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?(3)【面面垂直】设AB=BE,证明:平面ADE⊥平面CDE.,21//,21//AFBEADBC(1)证明由题意知,FG=GA,FH=HD,所以所以四边形BCHG是平行四边形.(2)解C,D,F,E四点共面.理由如下：G是FA的中点知,所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC,FH共面.又点D在直线FH上.所以C,D,F,E四点共面.,21//AFBE由,//GFBE,//,21//,21//BCGHADBCADGH又(3)证明连接EC,由AB=BE,及∠BAG=90°知ABEG是正方形.故BG⊥EA.由题设知FA,AD,AB两两垂直,故AD⊥平面FABE,因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理,BG⊥ED.又ED∩EA=E,所以BG⊥平面ADE.由(1)知CH∥BG,所以CH⊥平面ADE.由(2)知CH平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE.AGBE//【探究拓展】要证明四边形BCHG是平行四边形,只要证明即可;要证明C,D,E,F共面,可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可;要证明面面垂直通常转化成为证明线面垂直.HCGBBCGH//,//或题型二线线、线面位置关系【例2】(2009·江苏)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中E、F分别是A1B、A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:(1)【线面平行】EF∥平面ABC;(2)【面面垂直】平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.又EF平面ABC,BC平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)因为三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥面A1B1C1,BB1⊥A1D,又A1D⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D面A1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.【探究拓展】证明线面平行,通常用线面平行的判定定理或由面面平行证明线面平行;证明线面垂直,常用线面垂直的判定定理;在解决线线平行、线面平行的问题时,若题目中出现了中点,往往可考虑中位线来进行证明.变式训练2(2009·海南)如图所示,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)【线线垂直】求证:AC⊥SD;(2)【二面角】若SD⊥平面PAC,求二面角P—AC—D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC,若存在,求的值;若不存在,试说明理由.2ECSE(1)证明连结BD,设AC交BD于O，由题意SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥SD.(2)解设正方形边长为a,则SD=又OD=所以∠SDO=60°,连结OP,由(1)知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以∠POD是二面角P—AC—D的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,即二面角P—AC—D的大小为30°..2a,22a(3)解在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC,由(2)可得PD=故可在SP上取一点N，使PN=PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连结BN.在△BDN中,知BN∥PO,又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC,由于SN:NP=2:1,故SE:EC=2:1.,42a题型三面面位置关系【例3】(2009·天津)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD.(1)【空间夹角】求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)【面面垂直】证明:平面AMD⊥平面CDE;(3)【二面角】求二面角A—CD—E的余弦值.21方法一(1)解由题设知,BF∥CE，所以∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角,设P为AD的中点,连结EP,PC.又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥平面ABCD,而PC、AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC,EP⊥AD.由AB⊥AD,可得PC⊥AD.设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a,故∠CED=60°所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.,//.//,//PCABEPFAAPFE同理所以因为2(2)证明因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM⊥CE，连结MP,则MP⊥CE.又MP∩DM=M,故CE⊥平面AMD，而CE平面CDE,所以平面AMD⊥平面CDE.(3)解设Q为CD的中点,连结PQ,EQ.因为CE=DE,所以EQ⊥CD.因为PC=PD,所以PQ⊥CD,故∠EQP为二面角A—CD—E的平面角.由(1)可得,EP⊥PQ,EQ=PQ=于是在Rt△EPQ中,cos∠EQP=所以二面角A—CD—E的余弦值为,26a.22a.33EQPQ.33变式训练3如图所示,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF,∠BCF=∠CEF=90°,求证:【线面平行】AE∥平面DCF;证明过点E作EG⊥CF交CF于G,连结DG.可得四边形BCGE为矩形，又四边形ABCD为矩形，所以从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG.因为AE平面DCF,DG平面DCF,所以AE∥平面DCF.,//EGAD专题四：折叠问题解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量和变化量,一般情况下,线段长度是不变量,而折痕同侧的各种关系不发生变化,折痕两侧的位置关系将发生变化，抓住不变量是解决问题的关键.例1、已知等腰梯形PBCD中,(如图1),PB=3,DC=1,PD=BC=A是PB边上一点,且AD⊥PB,现将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图2).(1)【面面垂直】证明:平面PAD⊥平面PCD;(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成两部分的体积比VPDCMA:VMACB=2:1;(3)在点M满足(2)的条件下,判断直线PD是否平行于平面AMC,并说明理由.,2(1)证明由题意知:CD⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,又CD平面PCD,所以,平面PAD⊥平面PCD.(2)解由(1)知PA⊥平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD,在PB上取一点M，作MN⊥AB于N，则MN⊥平面ABCD,设MN=h,则VM—ABC=S△ABC·h,3122131hh31要使VPDCMA:VMACB=2:1,解得h=即M为PB的中点.(3)解连接BD交AC于点O,因为AB∥CD,AB=2,CD=1,由三角形相似得BO=2OD,所以O不是BD的中点,又M为PB的中点,所以在平面PBD中,直线OM与PD相交,所以直线PD与平面AMC不平行..21112213131PASVABCDABCDP,21,1:23:)321(hh即【考题再现】(2009·山东)如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点.证明:【线面平行】直线EE1∥平面FCC1；(1)证明在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,取A1B1的中点F1，连接A1D,C1F1,CF1,因为AB=4,CD=2,且AB∥CD,所以所以四边形A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D,又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点,所以EE1∥A1D,所以CF1∥EE1,又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1,所以直线EE1∥平面FCC1,//11FACD(2009·全国Ⅰ)已知二面角为60°,动点P、Q分别在面内,P到的距离为,Q到的距离为则P、Q两点之间距离的最小值为()A.B.2C.D.4解析如图,过P作PE⊥交于E,在平面内过点E作EF⊥l,则∠PFE=60°,由P到的距离为知PE=∴PF=2.同理可求平面内的点Q到棱l的距离为4.当将二面角展开,P、Q的连线与l垂直时,P、Q两点之间l、3,323223.3的距离最短(此时在二面角内,P、Q应是二面角平面角边上的两点）.其最小值应为d2=4+16-2×4×2×cos60°=12,∴d=答案C3.已知m,n是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是()A.B.C.D.解析由线面的位置关系可知B正确..32,,//,,则若nmnm//,,则若nmnm//,//,//则若//,//,//则若mmB(2009·江西)如图,正四面体ABCD的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上,则在下列命题中,错误的为()A.O—ABC是正三棱锥B.直线OB∥平面ACDC.直线AD与OB所成的角是45°D.二面角D—OB—A为45°解析将原图补为正方体不难得出B错误,故选B.B(2009·海南)如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=则下列结论中错误的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A—BEF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值,22解析由正方体的性质可知,AC⊥平面BB1D1D,则AC⊥BE,所以A正确;易知B正确;因B到直线B1D1的距离是1,而EF=点A到平面BB1D1D的距离为常量所以三棱锥A—BEF的体积VA—BEF=所以C正确.答案D,22,22,121222212131(2008·全国Ⅰ)已知菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD将△ABD折起,使二面角A-BD-C为120°,则点A到△BCD所在平面的距离等于___.解析如图所示,取BD中点E,连接AE、CE.∵△ABD、△BCD均为等腰三角形，∴AE⊥BD,CE⊥BD,∴BD⊥平面AEC.∴∠AEC为二面角A—BD—C的平面角,∴∠AEC=120°.在平面AEC内过A作CE的垂线AH,垂足为H,则H在CE的延长线上.∵BD⊥平面AEC.∴BD⊥AH.又AH⊥CE,∴AH⊥平面BCD.∵∠BAD=120°,∴∠