“对数函数”(第一课时)教学实录

1“对数函数”（第一课时）教学实录一、对数函数的定义师：（幻灯片，问题1）考古学家通过检验死亡生物体残留物中碳14的含量P，利用573012logtP估算出文物的年代t。请问：t是P的函数吗？生：是。师：能说明理由吗？（请生1回答）生1：因为每一个P都有唯一的t和它对应。师：很好。（对生1的回答进行补充，并通过幻灯投影：根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系573012logtP，都有唯一确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数。）师：（板书：573012logtP）师：（幻灯片，问题2）细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…则一个细胞分裂n次后，得到细胞个数2nN。若要得到N个细胞，求分裂次数n，则可用2lognN计算。请问：n是N的函数吗？生：n是N的函数，因为对每一个细胞数N，按对应关系2lognN，都有唯一确定的分裂次数n与它对应。师：回答十分正确。（幻灯投影：对于每个细胞数N，按照对应关系2lognN，都有唯一确定的分裂次数n与之对应，所以n是N的函数。）师：（板书：2lognN）师：现在，让我们再来看看刚才这两个函数。同学们，你们能说出它们有哪些共同特征吗？生：有对数。师：对，它们都含有对数运算符号。（板书对数运算符号：log）还有呢？生：底数是一个常数。师：嗯。我们可以设它为a。（在对数运算符号右下角写上a：alog）还有吗？生：自变量是真数。师：没错。两个函数的真数恰好就是自变量，我们用x表示。（在真数位置写上x：xalog），至2于因变量，我们用y来表示。（补充为完整的对数函数表达式：xyalog）师：我们把这个函数叫做对数函数。（板书课题：对数函数）师：（板书：形如xyalog的函数叫做对数函数。）师：根据前面学习过的对数知识，这里的底数a应该满足什么条件？生：a应该大于0且不等于1。师：（板书：1,0aa）师：自变量x的取值范围呢？生：大于0。师：对，因为0和负数没有对数。（板书：0x）师：请大家判断，这两个函数是对数函数吗？（板书：（1）53logyx（2）4log5xy）生：（在老师的指点下）这两个函数都不是对数函数，因为第一个函数对数符号前面的系数不是1，而是3；（2）第二个函数的真数不是自变量x，而是5x，都与对数函数的形式不符。师：没错。对数函数的定义是一个形式定义，只有跟它形式相同，或者通过恒等变形后形式相同的函数，才是对数函数。二、对数函数的图象师：在明确了对数函数的定义后，接下来要探讨什么？你能根据探讨指数函数的思路，提出探讨方法吗？生：要画函数的图象，讨论函数的性质。师：对了。那我们为什么要画函数的图象呢？生2：因为从函数的图象可以看出函数的性质。师：可以看出函数的哪些性质，能说具体一点吗？生：（不断补充）单调性、奇偶性、定义域、值域、图象的关键点。师：回答得非常好。在学指数函数的时候，我们就是根据指数函数的图象来分析指数函数的性质的，这是数形结合的方法，是分析函数性质的重要方法，也是一般方法。下面我们就用这一方法来探讨对数函数的性质。为此，我们要先作出对数函数的图象。师：先让我们对对数函数的图象作一个整体了解。（几何画板展示：动态显示对数函数的图象随底数a的变化而变化。提示学生注意底数a的取3值范围与图象的形状的关系，底数在何值时图象发生了质的变化。）生：（观察）师：我们看到对数函数的图象随底数a的变化而变化，你有什么重要发现？生3：1a时，函数是增函数，10a时，函数是减函数。师：你观察到了函数图象最明显的一个变化，很好。生4：函数图象都过点（1，0）。师：你观察得比较细致。类比指数函数的图象，你们觉得对数函数的图象需要分类吗？生：要分为1a和10a两类。师：好。下面我们由特殊函数入手，看对数函数的图象有何特征。对1a的情形，我们选择2logyx，对10a的情形，我们选择12logyx。请大家作出这两个函数的图象。生：（作函数图象）师：（巡视辅导，提示作函数图象的步骤：列表、描点、连线）列表时，你觉得横坐标取哪些值比较好呢？一要注意关键点，二要便于计算，又能反映图象的变化趋势。生：横坐标可以取1，2，4，8，21，41，81生：（作图。生5、生6板演）师：（把学生中完成得较好的向全班展示，并给予表扬。）师生：（点评生5、生6的板演，认为作图规范、漂亮，并对细节处进行修正）师：（幻灯片，展示作函数图象的过程）师：请在刚才作图的同一坐标系内，分别取三个点，作出3logyx和13logyx的图象。生：（在老师的指点下，取横坐标31，1，3作图）师：这两个图象分别与刚才画的两个图象中的哪一个相似？生：3logyx的图象与2logyx的相似，13logyx的图象与12logyx的相似。师：（幻灯片，投影13logyx和3logyx的图象）师：（几何画板：对数函数的图象）再次观察对数函数的图象，注意底数a的取值，对应的函数图象与2logyx和12logyx的图象相似吗？生：当1a时，函数图象与2logyx的图象相似，当10a时，函数图象与12logyx的图象相似。4师：对，那你能画出对数函数的草图吗？生：（画对数函数的草图）师：（幻灯片，对数函数的草图）无论1a还是10a，对数函数的图象都过点（1，0），所以，点（1，0）是对数函数的“关键点”，画图时，先把这个点定好。当1a时，是一条“上升的”曲线，当10a时，是一条“下降的”曲线。三、对数函数的性质师：下面，我们来探讨对数函数的性质。还从2logyx和12logyx的性质入手。大家先观察2logyx的图象，看它有什么特征，然后由形入数，分析2logyx的性质。生：（在老师的适时提醒下）图象位于Y轴右边，向上、向下无限延伸，从左向右看逐渐上升。师：（在学生回答的同时，幻灯投影显示表1）师：这些图象特征，用数学语言表述出来，就是函数的性质。比如，图象位于Y轴的右边，说明——生：函数的定义域是),0(师：非常好。（幻灯片投影这一结论）图象向下、向上无限延伸，表明——生：函数的值域是),(。师：（幻灯片投影这一结论）图象上升——生：函数是增函数。师：这样表述准确吗？生：函数在),0(上是增函数。师：（幻灯片投影这一结论）对，不要忘记函数的单调性与单调区间是紧密联系在一起的。这个函数的奇偶性如何？生7：既不是奇函数，也不是偶函数。师：你是如何知道的？生7：因为它的图象既不关于Y轴对称，也不关于原点对称。师：你回答得真好，说明你对数形结合的方法有很好的理解。从这里我们可以看到，函数图象对于我们分析和掌握函数的性质是很有帮助的，所以对于每一类函数的图象，我们要会画它的草图，知道它的主要特征。5师：现在，请同学们自己分析12logyx图象的特征，并讨论它的性质，把表2完成。（幻灯片，投影空表2）生：（说出12logyx图象的主要特征及函数的主要性质）师：（幻灯片，逐条投影表2的内容：图象位于Y轴右边，图象向上、向下无限延伸，从左向右图象逐渐下降；定义域：),0(，值域：R，在),0(上：减函数）师：从这两个函数来看，它们的主要性质有哪些是相同的，哪些是不同的？生：两个函数的定义域和值域相同，但单调性刚好相反。师：没错。那么，这两个函数的主要性质可不可以推广到一般对数函数呢？生：可以。当1a时，xyalog的性质与2logyx的性质相同，当10a时，xyalog的性质与12logyx的性质相同。师：好。请同学们归纳对数函数的主要性质。（幻灯片，投影表3）师生：（共同归纳对数函数的性质，同时完成表3：定义域：),0(，值域：R，过定点：（1，0），1a时在),0(上是增函数，10a时在),0(是减函数）（下课铃响）四、课堂小结师：这节课，我们一起探讨了对数函数的图象和性质，大家表现非常优秀。我们的成果体现在表3里面了。我们先探讨了具体的函数，然后把结果进行推广，采用的是从特殊到一般的思维方法，我们由函数的图象特征来发现函数的性质，采用了数形结合的数学方法。由特殊到一般、数形结合，是数学常用的方法，希望大家好好体会。五、布置作业（幻灯片投影）（1）在同一坐标系内作出2logyx和xy2的图象，并指出这两个函数的图象有什么关系。（2）在同一坐标系内作出xy21log和xy)21(的图象，并指出这两个函数图象有什么关系。