大学物理学下册答案(北邮大赵近芳)

习题八8-1电量都是的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?　q解:如题8-1图示(1)以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q′为负电荷20220)33(π4130cosπ412aqqaq′=°εε解得qq33−=′(2)与三角形边长无关．题8-1图题8-2图8-2两小球的质量都是，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2mθٛ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．　解:如题8-2图示⎪⎩⎪⎨⎧===220)sin2(π41sincosθεθθlqFTmgTe解得θπεθtan4sin20mglq=8-3根据点电荷场强公式204rqEπε=，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?　解:020π4rrqEvvε=仅对点电荷成立，当时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．0→r8-4在真空中有A，B两平行板，相对距离为，板面积为，其带电量分别为+和-．则这两板之间有相互作用力，有人说=dSqqff2024dqπε,又有人说，因为=,fqESqE0ε=，所以=fSq02ε．试问这两种说法对吗?为什么?到底应等于多少?　f解:题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强SqE0ε=看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为SqE02ε=，另一板受它的作用力SqSqqf02022εε==，这是两板间相互作用的电场力．8-5一电偶极子的电矩为lqpvv=，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量rv与l的夹角为vθ,(见题8-5图)，且．试证P点的场强lrE在r方向上的分量和垂直于rEr的分量分别为θErE=302cosrpπεθ,=θE304sinrpπεθ证:如题8-5所示，将pv分解为与rv平行的分量θsinp和垂直于rv的分量θsinp．∵lr∴场点在Pr方向场强分量30π2cosrpErεθ=垂直于r方向，即θ方向场强分量300π4sinrpEεθ=题8-5图题8-6图8-6长l=15.0cm　的直导线AB上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C·m-1　的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距=5.0cm处1aP点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距=5.0cm处Q点的场强．　2d解：如题8-6图所示(1)在带电直线上取线元，其上电量在xdqdP点产生场强为20)(dπ41dxaxEP−=λε2220)(dπ4dxaxEEllPP−==∫∫−ελ]2121[π40lala+−−=ελ)4(π220lal−=ελ用，,15=lcm9100.5−×=λ1mC−⋅5.12=acm代入得21074.6×=PE1CN−⋅方向水平向右(2)同理　2220ddπ41d+=xxEQλε方向如题8-6图所示由于对称性，即∫=lQxE0dQEv只有y分量，∵22222220ddddπ41d++=xxxEQyλε22π4ddελ∫==lQyQyEE∫−+2223222)d(dllxx2220d4π2+=llελ以,,9100.5−×=λ1cmC−⋅15=lcm5d2=cm代入得21096.14×==QyQEE1CN−⋅，方向沿轴正向y8-7一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O点的场强．解:如8-7图在圆上取ϕRddl=题8-7图ϕλλdddRlq==，它在O点产生场强大小为20π4ddRREεϕλ=方向沿半径向外则ϕϕελϕdsinπ4sindd0REEx==ϕϕελϕπdcosπ4)cos(dd0REEy−=−=积分RREx000π2dsinπ4ελϕϕελπ==∫0dcosπ400=−=∫ϕϕελπREy∴REEx0π2ελ==，方向沿x轴正向．8-8均匀带电的细线弯成正方形，边长为，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为lr处的场强E；(2)证明：在处，它相当于点电荷产生的场强lrqE．　解:如8-8图示，正方形一条边上电荷4q在点产生物强PPEvd方向如图，大小为()4π4coscosd22021lrEP+−=εθθλ∵22cos221lrl+=θ12coscosθθ−=∴24π4d22220lrllrEP++=ελPEvd在垂直于平面上的分量βcosddPEE=⊥∴424π4d2222220lrrlrlrlE+++=⊥ελ题8-8图由于对称性，点场强沿方向，大小为POP2)4(π44d422220lrlrlrEEP++=×=⊥ελ∵lq4=λ∴2)4(π422220lrlrqrEP++=ε方向沿OP8-9(1)点电荷位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面．在该平面轴线上的qqA点处，求：通过圆平面的电通量．(xRarctan=α)　解:(1)由高斯定理0dεqSEs∫=⋅vv立方体六个面，当在立方体中心时，每个面上电通量相等q∴各面电通量06εqe=Φ．(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长的立方体，使处于边长的立方体中心，则边长的正方形上电通量a2qa2a206εqe=Φ对于边长的正方形，如果它不包含所在的顶点，则aq024εqe=Φ，如果它包含q所在顶点则0=Φe．如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图题8-9(a)图题8-9(b)图题8-9(c)图(3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为22xR+的球冠面的电通量，球冠面积*]1)[(π22222xRxxRS+−+=∴)(π42200xRSq+=Φε02εq=[221xRx+−]*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图ααα∫⋅=0dsinπ2rrSααα∫⋅=02dsinπ2r)cos1(π22α−=r8-10均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×C·m-3求距球心5cm，8cm,12cm各点的场强．510−解:高斯定理0dε∑∫=⋅qSEsvv,02π4ε∑=qrE当时，5=rcm0=∑q,0=Ev8=rcm时，∑q3π4p=3(r)3内r−∴()2023π43π4rrrEερ内−=41048.3×≈1CN−⋅，方向沿半径向外．12=rcm时,3π4∑=ρq−3(外r）内3r∴()420331010.4π43π4×≈−=rrrEερ内外沿半径向外.1CN−⋅8-11半径为和(＞)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量1R2R2R1Rλ和-λ,试求:(1)r＜；(2)＜1R1Rr＜；(3)2Rr＞处各点的场强．2R解:高斯定理0dε∑∫=⋅qSEsvv取同轴圆柱形高斯面，侧面积rlSπ2=则rlESESπ2d=⋅∫vv对(1)1Rr0,0==∑Eq(2)21RrRλlq=∑∴rE0π2ελ=沿径向向外(3)2Rr0=∑q∴0=E题8-12图8-12两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强．　解:如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，两面间，nEvv)(21210σσε−=1σ面外，nEvv)(21210σσε+−=2σ面外，nEvv)(21210σσε+=nv：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．8-13半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O与O′点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．解:将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ−的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．(1)ρ+球在点产生电场，O010=Evρ−球在点产生电场O'dπ4π3430320OOrEερ=v∴点电场O'd33030OOrEερ=v；(2)ρ+在O′产生电场'dπ4d3430301OOEερπ=′vρ−球在O′产生电场002=′Ev∴O点电场′003ερ=′Ev'OO题8-13图(a)题8-13图(b)(3)设空腔任一点相对OP′的位矢为rv′，相对点位矢为Orv(如题8-13(b)图)则03ερrEPOvv=，03ερrEOP′−=′vv,∴0003'3)(3ερερερdOOrrEEEOPPOPvvvvvv==′−=+=′∴腔内场强是均匀的．8-14一电偶极子由=1.0×10-6C　的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105N·C-1　的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的昀大力矩．　　q解:∵电偶极子pv在外场Ev中受力矩EpMvvv×=∴qlEpEM==max代入数字4536max100.2100.1102100.1−−−×=×××××=MmN⋅8-15两点电荷=1.5×10-8C，=3.0×10-8C，相距=42cm，要把它们之间的距离变为=25cm，需作多少功?　1q2q1r2r解:∫∫==⋅=22210212021π4π4ddrrrrqqrrqqrFAεεvv)11(21rr−61055.6−×−=J外力需作的功61055.6−×−=−=′AAJ题8-16图8-16如题8-16图所示，在A，B两点处放有电量分别为+,-的点电荷，qqAB间距离为2R，现将另一正试验点电荷从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功．　0q解:如题8-16图示0π41ε=OU0)(=−RqRq0π41ε=OU)3(RqRq−Rq0π6ε−=∴RqqUUqAoCO00π6)(ε=−=8-17如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心点处的场强和电势．　O解:(1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和段电荷在O点产生的场强互相抵消，取CDθddRl=则θλddRq=产生O点Evd如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向题8-17图θεθλππcosπ4dd2220∫∫−==RREEyR0π4ελ=［)2sin(π−2sinπ−］R0π2ελ−=(2)AB电荷在O点产生电势，以0=∞U∫∫===AB200012lnπ4π4dπ4dRRxxxxUελελελ同理产生CD2lnπ402ελ=U半圆环产生0034π4πελελ==RRU∴0032142lnπ2ελελ+=++=UUUUO8-18一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量=9.1×10-31kg，电子电量=1.60×10-19C)0me解:设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强rE0π2ελ=电子受力大小reeEFe0π2ελ==∴rvmre20π2=ελ得1320105.12π2−×==emvελ1mC−⋅8-19空气可以承受的场强的昀大值为E=30kV·cm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的昀高电压．　解:平行板电容器内部近似为均匀电场∴4105.1d×==EUV8-20根据场强Ev与电势U的关系UE−∇=v，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场；(2)总电量为，半径为qR的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子的处(见题8-20图)．　qlp=lr解:(1)点电荷r0π4εqU=题8-20图∴0200π4rrqrrUEvvvε=∂∂−=为0rvr方向单位矢量．(2)总电量，半径为qR的均匀带电圆环轴上一点电势220π4xRqU+=ε∴()ixRqxixUEvvv2/3220π4+=∂∂−=ε(3)偶极子lqpvv=在处的一点电势lr