二次根式讲义

勤而思教育个性化学习中心二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如√a(a≥0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，√a才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、aB、10C、1aD、21a√2、在、、、、中是二次根式的个数有______个.【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．[来源:学*科*网Z*X*X*K]举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（）A、x3B、x≥3C、x4D、x≥3且x≠42、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=++2009，则x+y=解题思路：式子（a≥0），，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、若，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是实数，且y=4x233x2，求xy的值22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaaa2ab1x21x313x43xx5xx5a50,50xx5x11xx2()xy勤而思教育个性化学习中心【例4】已知a是5整数部分，b是5的小数部分，求12ab的值。举一反三：1、若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3。知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：aa()0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.()()aaa20．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aaa()()203.aaaaaa200||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4.公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．【典型例题】题型一：二次根式的双重非负性【例5】若则．举一反三：1、若0)1(32nm，则mn的值为。22340abc，cba勤而思教育个性化学习中心二次根式的性质2（公式)0()(2aaa的运用）【例6】化简：的结果为（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4举一反三：1、在实数范围内分解因式：429__________,222__________xxx二次根式的性质3（公式)0a(a)0a(aaa2的应用）【例7】已知2x,则化简244xx的结果是（）A、2xB、2xC、2xD、2x举一反三：1、根式2(3)的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、若a－3＜0，则化简aaa4962的结果是（）(A)－1(B)1(C)2a－7(D)7－2a【例8】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+的结果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______aa．【例9】化简21816xxx的结果是2x-5，则x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）1≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1举一反三：若代数式22(2)(4)aa的值是常数2，则a的取值范围是（）（A）4a≥（B）2a≤（C）24a≤≤（D）2a或4a【例10】化简二次根式22aaa的结果是（）（A）2a(B)2a(C)2a(D)2a21(3)aa2()ab1012aoba勤而思教育个性化学习中心举一反三：1、把二次根式aa1化简，正确的结果是（）A.aB.aC.aD.a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）A．B．C．21D．【例11】举一反三：1、下列根式不是最简二次根式的是()A.21aB.21xC.24bD.0.1y2、在根式1)，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)3、把下列各式化为最简二次根式：(1)12(2)ba245【例12】下列根式中能与3是合并的是()A.8B.27C.25D.21举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）732222;2);3);4)275xabxxyabc勤而思教育个性化学习中心A、318和B、133和C、22abab和D、11aa和2、在二次根式：①12；②32；③32；④27中，能与3合并的二次根式是。知识点四：二次根式计算——分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式。3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例13】把下列各式分母有理化（1）148（2）4337（3）11212（4）13550【例14】把下列各式分母有理化：（1）221（2）5353（3）333223举一反三：勤而思教育个性化学习中心1、已知2323x，2323y，求下列各式的值：（1）xyxy（2）223xxyy知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab=a·b（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。a·b＝ab．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=（a≥0，b0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a≥0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【典型例题】【例15】化简(1)916(3)1525(3)12×632【例16】化简：(1)(2))0,0(ba(3))0,0(yxabababab36422649ba2964xy勤而思教育个性化学习中心知识点六：二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．【典型例题】【例17】计算（1）11327520.53227；（2）12543102024553457；【例18】（3）3213273108334aaaaaaa（4）1142aabbab【例19】1、abbaabb3)23(2352、132xy·（-42yx）÷162xy3、673)32272(4、1110)562()562(）勤而思教育个性化学习中心【例20】求的值．知识点七：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当0,0ab时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。2、平方法当0,0ab时，①如果22ab，则ab；②如果22ab，则ab。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。【典型例题】【例21】比较35与53的大小。【例22】比较231与121的大小。【例23】比较1514与1413的大小。【例24】比较73与873的大小。