计算机图形学chap6-二维变换及二维观察

计算机图形学基础华东理工大学计算机系·谢晓玲2第六章二维变换及二维观察如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换。如何进行二维观察。3二维变换及二维观察基本几何变换与基本概念二维图形几何变换的计算复合变换变换的性质4图形的几何变换平移、旋转、缩放、反射和错切变换的组合图形几何变换的目的改变图形的位置、方向、大小基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换。6.2基本几何变换6.2齐次坐标齐次坐标将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如：向量(x1,x2,…,xn)的齐次坐标表示为(Hx1,Hx2,…,Hxn,H),其中H是一个不为0的实数。H=1的齐次坐标称为规范化齐次坐标；反之：由点或向量的齐次坐标(Hx1,Hx2,…,Hxn,H)，求它的规范化齐次坐标,可根据如下公式求得x1=Hx1/H,x2=Hx2/H,…xn=Hxn/H齐次坐标表示法的优点将平移、旋转、缩放等变换同统一的方式表示6齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。0),,(),(hhyhxhyx)1,,(),(yxyx基本几何变换——规范化齐次坐标恒等变换平面图形的恒等变换保持原图形的大小、形状、位置不变,其变换矩阵为：1000100012DT7.2二维几何变换的齐次坐标表示8基本几何变换——平移变换平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。YXTxTyP'PT图6-1平移变换yxTyyTxx''100设：P‘=x’y'1=xy1010TxTy1令：T(Tx,Ty)=100010TxTy1记：P'=P*T(Tx,Ty)Tx，Ty称为平移矢量。基本几何变换——平移变换10比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比例系数。YXP'(4,3)P(2,1)基本几何变换——比例变换图6-2比例变换(Sx=2,Sy=3)ySyxSxyx''11矩阵形式：Sx00设：P‘=x’y'1=xy10Sy0001令：S(Sx,Sy)=Sx000Sy0001记：P'=P*S(Sx,Sy)Sx，Sy称为比例系数。基本几何变换——比例变换12基本几何变换——比例变换图6-3比例变换(a)Sx=Sy比例原图(b)SxSy比例原图SxSySxSySx=Sy1Sx=Sy113Syxyx0001000111''整体比例变换：当S1，图形整体缩小；当S1，图形整体放大。基本几何变换——比例变换14二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。x’=r•cos(+)=r•cos•cos-r•sin•sin=x•cosθ-y•sinθy’=r•sin(+)=r•cos•sin+r•sin•cos=x•sinθ+y•cosθYXP'Prrαθ基本几何变换——旋转变换图6-4旋转变换15矩阵形式：逆时针旋转θ角cosθsinθ1设：P‘=x’y'1=xy1-sinθcosθ0001令：R(θ)=cosθsinθ1-sinθcosθ0001记：P'=P*R(θ)基本几何变换——旋转变换16smlqdcpbayxTyxyxD111''2基本几何变换——二维变换矩阵T1=ab比例、旋转、对称、错切等；cdT2=lm平移T3=p投影qT4=s整体比例sqypxmdybxy'sqypxlcyaxx'17对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。XY(a)关于x轴对称XY(b)关于y轴对称XY(c)关于原点对称基本几何变换——对称变换18XY(d)关于x=y对称XY(e)关于x=-y对称基本几何变换——对称变换19(1)关于x轴对称smlqdcpbaYXP'(x,-y)P(x,y)100010001基本几何变换——对称变换图6-6关于x轴对称20(2)关于y轴对称YXP'(-x,y)p(x,y)100010001图6-6关于y轴对称基本几何变换——对称变换21(3)关于原点对称YXP(x,y)100010001基本几何变换——对称变换图6-6关于原点对称22(4)关于y=x轴对称YXp(x,y)p'(y,x)x=y100001010基本几何变换——对称变换图6-6关于x＝y对称23(5)关于y=-x轴对称YXP'(-y,-x)P(x,y)x=-y100001010基本几何变换——对称变换图6-6关于x＝－y对称(a)原图(b)沿x正方向错切(c)沿y正方向错切xyOxyOOxy24错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。基本几何变换——错切变换图6-7错切变换①沿X方向关于Y轴的错切矩形p1p2p3p4沿X方向错切变换，得到矩形p1p2p3’p4’，错切角θ，点(x,y)变换为：x’=x+y*tan(θ)，y’=y令：shx=tan(θ)记：x’y’1=xy1100shx10001P1P2P4P3P'4P‘3θyy*tan(θ)图6.7沿X方向错切基本几何变换——错切变换②沿Y方向关于X轴的错切矩形p1p2p3p4沿Y方向错切变换，得到矩形p1p2’p3’p4,错切角θ，点(x,y)变换为：x’=x，y’=y+x*tan(θ)令：shy=tan(θ)记：x’y’1=xy11shy0010001O41P‘2P‘3P1P2P3P4θx*tan(θ)图6.7沿Y方向错切基本几何变换——错切变换③沿两个方向的错切x’=x+y*tan(α)y’=y+x*tan(θ)令：shx=tan(α)、shy=tan(θ)记：x’y’1=xy11shy0shx10001O41P‘2P‘3P1P2P3P4θx*tan(θ)图6.7沿X、Y方向错切αy*tan(α)基本几何变换——错切变换28其变换矩阵为：1000101cb(1)沿x方向错切：b=0(2)沿y方向错切：c=0(3)两个方向错切：b≠0，c≠0基本几何变换——错切变换29二维图形几何变换的计算几何变换均可表示成P’=P*T的形式。1.点的变换rmlqdcpbayxyx11''302.直线的变换rmlqdcpbayxyxyxyx11112211'2'2'1'1二维图形几何变换的计算313.多边形的变换rmlqdcpbayxyxyxyxyxyxyxyxnnnn1.........1111.........111332211'''3'3'2'2'1'1二维图形几何变换的计算32复合变换图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次变换矩阵的乘积。任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。复合变换具有形式：P’=P·T=P·(T1·T2·T3·…·Tn)=P·T1·T2·T3·…·Tn(n1)331010001101000110100012121221121yyxxyxyxtttTTTTTTTTTTT复合变换——二维复合平移341000000100000010000002121221121yyxxyxyxsssSSSSSSSSTTT复合变换——二维复合比例35)(21)()(21RRRR1000)cos()sin(0)sin()cos(1000cossin0sincos1000cossin0sincos212121212222111121rrrTTT复合变换——二维复合旋转361000cos000cos100010110001011000cos000cos1000cossin0sincostgtgtgtgR复合变换旋转变换等价于先比例后错切，或者先错切后比例。矩阵相乘是符合结合律，但不符合交换律。A·B·C=(A·B)·C=A·(B·C)A·B≠B·C在连续的同种变换的特殊情况下，矩阵相乘可以符合交换律。1.二次连续旋转，可以用任意顺序进行；2.连续的平移或连续的比例变换可以交换；3.两向相同（Sx=Sy）的比例变换与旋转变换可以交换。复合变换38相对任一参考点的二维几何变换相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：(1)平移；(2)针对原点进行二维几何变换；(3)反平移。1.相对于任一固定点的比例变换则：P’=P·{T(-xA,-yA)·S(sx,sy)·T(xA,yA)}记：SA(sx,sy)=T(-xA,-yA)·S(sx,sy)·T(xA,yA)∴=100sx00100=sx000100sy00100sy0-xA-yA1001xAyA1xA(1-sx)yA(1-sy)1T(-xA,-yA)·A(xA,yA)ooAS(sx,sy)oAT(xA,yA)·A(xA,yA)o相对任一参考点的二维几何变换2.围绕任一基准点的旋转变换则：P’=P·{T(-xA,-yA)·R(θ)·T(xA,yA)}记：RA(θ)=T(-xA,-yA)·R(θ)·T(xA,yA)∴=100cosθsinθ0100010-sinθcosθ0010-xA-yA1001xAyA1=cosθsinθ0-sinθcosθ0xA(1-cosθ)+yAsinθyA(1-cosθ)-xAsinθ1T(-xA,-yA)R(θ)T(xA,yA)A(xA,yA)ooAoAθoA(xA,yA)例1错切变换矩形P1P2P3P4沿X轴、Y轴双向错切。设：tan(θ)=2,tan(Φ)=1100110100110010·210·010=210111001-1-11211则P’=-1-11110=-1-113-11·210331-1412119413411381θΦyP4P3P1OP2x*P4*P2*P1*P3相对任一参考点的二维几何变换例2组合变换平面图形变换举例设△P1P2P3的三个顶点分别为：P1(10,20),P2(20,20),P3(15,30),它绕点Q(5,25)逆时针方向旋转30°。它的复合变换由如下三种变换组成:(1)平移，使Q移到原点O,平移常量l=-5,m=-25,平移变换矩阵为：p1p2p3Q51-250100011T相对任一参考点的二维几何变换(1)平移，使Q移到原点O,平移常量l=-5,m=-25,平移变换矩阵为T1，平移变换后的△P′1P′2P′3。51-250100011TyQP3P2P1QO2Px3P(a)1P相对任一参考点的二维几何变换(2)绕原点逆时针旋转30°，旋转变换矩阵为T2，旋转变换后的△P″1P″2P″3。yP3P2Q3P2P1POxQP10100cos30°-sin30°0sin30°cos30°2T相对任一参考点的二维几何变换(3)最后将Q点移回原来位置Q(5,25),平移变换矩阵为T3，旋转变换后的△P*1P*2P*3。51250100013Ty*P3*P2Q3P2P1POxQ*P1相对任一参考点的二维几何变换46相对任意方向的二维几何变换相对任意方向作二维几何变换，其