流体运动方程的应用

流体的运动方程描述了流体动量传递的基本规律，给出了通用的动量传递微分方程。该微分方程可以用于求解层流流动的动量传递速率、速度分布和流动阻力问题。但由于方程本身的非线性及复杂性，即使对于层流流动，也仅对于少数比较简单的稳态流动，才能得到方程的解析解。对于比较复杂的流动问题，直接求解运动方程往往是非常困难的。为此，可以根据问题的特点，比较方程中各项物理量的相对大小，将某些虽然不等于零但对流动影响较小的项略去，使方程得以简化，然后再分析求解。例如本章对于爬流、势流问题的处理就是采用这种方法。第三章流体运动方程的应用流体流动研究的核心问题就是流动阻力问题，也就是动量传递速率问题。粘性流体流动时，流体内部存在速度梯度，导致流体流动产生粘性摩擦力。另一方面，速度梯度的存在使动量自发地从高速区向低速区传递，其结果是流体的动量不断地被消耗。这就是流体流动阻力产生的来源。应该指出，流体的这种内摩擦力与固体表面上的摩擦力存在着本质上的不同。固体摩擦仅发生在固体的外表面上，而流体与壁面之间的摩擦则发生在流体内部，因为紧贴壁面的流体与壁面之间没有相对运动。流体的流动阻力是由于壁面的介入，使流体内部出现速度梯度而进行动量传递，从而消耗了流体能量的结果。流体流动问题按其流动方式可以分为两类：一类是流体包围着固体壁面的流动（绕流流动）；另一类是流体被壁面包围的流动（约束流）。下面分别给出这两种流动的阻力系数定义。第1节流体流动方式及流动阻力系数一、绕流流动与曳力系数当粘性流体流过一个固体表面或围绕浸没物体流动时，流体将受到物体壁面的阻力，而物体则受到流体所施加的曳力(dragforce)，此曳力和阻力大小相等，方向相反。其中，Fd——流体对物体施加的总曳力u0——远离物体表面的流体速度A——与流动方向向垂直的投影面积CD——曳力系数上式称为牛顿阻力平方定律，称为动能因子。202u理论分析和实验研究均表明流体对圆柱体所施加的曳力与物体在垂直于流动方向上的横截面积以及流速的平方成正比，用公式可以表述如下：202DduFCA（3－1）现以流体绕过置于流场中的一根长圆柱体的流动状况为例进行讨论，如右图所示。总曳力Fd由两部分组成，一部分是由于压力在物体表面上的不对称分布所引起的形体曳力(formdrag)或称为压差曳力——Fdf，另一部分是物体表面上的剪应力所引起的摩擦曳力(skindrag)——Fds。总曳力为形体曳力与摩擦曳力之和。从上式中即可求出曳力系数202dDFCuA（3－2）式（3－2）即为曳力系数或绕流阻力系数的定义式。CD可由动量传递理论推导出来或由实验测定出来，通过CD可以计算绕流问题的流动阻力（动量传递速率）。L二、约束流动与范宁摩擦因数工程上，许多流体都是在封闭的管道内输送的。右图即为粘性流体在一水平圆管内稳态流动的示意图。在管中心处取一长为L，半径为r的流体元进行受力分析。在此流体元上存在着两个方向相反的力，一个是促使流体流动的推动力F1，该力的方向与流动方向一致，力的大小为2112()Fppr另一个是流体的内摩擦力，该力为阻止流体向前运动的力F2，力的方向与流动方向相反，其大小为：22FrL在稳态流动下，推动力和阻力大小相等，即F1＝F2，所以有21ppp令带入（3－3）式得，2122()pprrL（3－3）2prL（3－4）在壁面处，r=d/2，带式（3－4）得壁面处的剪应力4wpdL（3－5）上式两侧同乘以剪应力τw的作用面积，即管内表面积A，得流体流动的摩擦阻力其中，A=πdL。理论分析及大量的实验研究表明，对于管内流动，流体产生的摩擦阻力与流体的动能因子及流体与壁面的接触面积成正比，即其中，um——流体的平均流速A——流体与壁面的接触面积f——比例系数，称为范宁摩擦系数4dwpdFAL－（3－6）22mdwuFfA（3－7a）或22mwuf（3－7b）流体在封闭的管道中流动时，流动阻力可以通过沿程压力损失表现出来，研究发现压力损失与管道的长径比和流体的动能成正比，可表示为将上（3－9）式与（3－5）式带入（3－8）式，得该式即为范宁摩擦因数f的定义式，f可由动量传递理论推导或由实方法求得，通过f可以计算流体在管内的流动阻力。从式（3－7b）中可以求得范宁摩擦系数（3－8）22wmfu22muLpd（3－9）λ称为摩擦阻力系数CD和f是雷诺数的函数，它是在计算动量传递速率（流动阻力）时首先要确定的系数。关于CD和f的求法，将在本章及下两章中详加讨论。14f（3－10）第2节无限大平行平板间的稳态层流在工程实际中，经常遇到流体在两平壁间作平行稳态流动的问题，例如板式换热器、平板式膜分离装置等。这类装置的特点是平壁的宽度远远大于两平壁间的距离，因此可以认为平壁无限宽，流体在平壁间的流动可视为一维流动。试求在这种情况下流体在流道截面上的速度分布及流动阻力的问题右图即为流体在平壁间作稳态层流横断面上的示意图。设流体不可压缩，且所考察的部位远离流道的进出口（即不需要考虑端效应的影响），流道在宽度方向上（z方向）上为无限宽，流道的高度为2b。坐标系选用直角坐标。2boyxuxux2.1数学模型的建立上一章给出了稳态流动下不可压缩流体的连续性方程u0yzxuuuxyz由于流体在两平行平板间的流动属不具有自由表面的流动，故选用动压力梯度表示的运动方程更为简便，在直角坐标系中，以动压力表示的不可压缩流体的运动方程为x方向222222yyyyyyydxyzuuuuuuupuuutxyzxyzy222222zzzzzzzdxyzuuuuuuupuuutxyzxyzz222222xxxxxxxdxyzuuuuuuupuuutxyzxyzxy方向z方向2.2微分方程的化简(1)连续性方程的化简：由于流动仅为x方向上的一维流动，故uy=uz=0。所以连续性方程0yzxuuuxyz可简化为0xux22100():xxuuxx30():yzuu(2)x方向运动方程的化简：20():(xut稳态流动）222222xxxxxxxdxyzuuuuuuupuuutxyzxyzxx方向运动方程简化条件由于z方向上为无限宽，故可以忽略任何物理量沿着z方向的变化，所以有22(4):0;(5):0xxuuzz将上述简化条件代入x方向运动方程，化简后，可得22dxpuxy0xux又由于0xuzxuxzy所以与和均无关，仅仅是的函数22xuy所以可以写作22ddxuy所以x方向运动方程最终可化简为：22dddxpuxy(3)y方向运动方程的化简：222222yyyyyyydxyzuuuuuuupuuutxyzxyzy将简化条件uy=0代入y方向上的运动方程可得，0dpy(4)z方向运动方程的化简：222222zzzzzzzdxyzuuuuuuupuuutxyzxyzz可得，0dpz同理，将简化条件uz=0代入z方向上的运动方程由此可见，pd与y和z无关，也仅仅是x的函数dpx所以可以写作dddpx这样连续性方程和三个方向上的运动方程最终可化简为：221dddddxpuxy2.1.3微分方程的分析由上述分析可知pd仅仅为x的函数，而ux仅仅为y的函数，因而pd对x求导只能是一个关于x的函数，或者是一个常数；同样ux对y求导只能是一个关于y的函数或者是一个常数。而x、y又是两个独立变量。故欲使该方程（3-6）成立，方程两侧只能同时等于一个与x和y都无关的常数C，即：（3-6）2.1.4微分方程的求解上述微分方程为二阶线性常微分方程。方程的边界条件为d00dxuyy，（中心对称）222()xCuyb0()xybu，壁面不滑脱221dddddxpuCxy对式(3-7）连续两次积分，并将边界条件代入得：（3-7）（3-7a）（3-7b）式中的常数C可以通过平均流速um来求得。根据平均流速的定义1dsmAVuuAAA在流动方向上，取单位宽度，则流道的截面积为21Ab则通过该截面的体积流率为1(d)bsxbVuy23mCub32202223()dbCbybyC2smmVuAub所以流体在两静止平板间作一维稳态层流时的速度分布方程为2312xmyuub由上式可知，当y=0时，即在两平壁中心处，速度最大，最大流速为32maxmuu所以平板间流体流动的速度分布方程还可以写作21maxxyuub由常数C的值还可以求得流动方向上的压力梯度，即23ddfdmppuLxb23dddmpuxb213dddmpCuxb解得：由上式可知，当流体作稳态流动且流体粘度不变时，动压力梯度为一常数，即动压力沿流动方向呈线性变化，因此有2.1.5速度分布方程的应用——求流动阻力及阻力系数226wmmfuub3mwubddxwybuy由牛顿粘性定律可得，平板壁面处的剪应力为将速度分布方程代入得：根据摩擦阻力系数定义有需要注意的是，上述关于平壁间一维流动的运动公式仅适用于流体在流道中作层流流动，当流体在流道中作湍流流动时，上述关系式不成立62mwuFABLb流动阻力为BL——流道的宽度——流道的长度Re2000，层流；Re4000，湍流。另外注意在计算Re时，d应该用当量直径。什么是当量直径？当流道的宽度B远远大于流道的高度2b时，平壁间的当量直径为42424()eBbdbBb将当量直径de与b的关系代入平板间流动阻力系数的计算式有：62424Remmefubud例3.110℃的水以4m3/h的流率流过一宽1m、高0.1m的矩形水平管道。假定流动为已经充分发展的一维流动，试求截面上的速度分布及通过单位长度管道的压力降。已知时，水的粘度为1.307×10-3Pa·s解：（1）题意分析首先，由于该水平管道的宽度（1m）比管道的高度（0.1m）大的多，所以可以视为流体在无限大的两平壁之间流动。其次需要判断一下流型，是属于层流还是属于湍流。这时就需要计算当量直径和平均流速。410.10.1822(10.1)edm当量直径平均流速4/36000.0111/10.1mums雷诺数30.1820.01111000154620001.30710emduRe22max223112xmyyuuubb所以速度分布可以用下面的公式来计算22230.011116.66(0.0025)2(0.05)yy单位长度管道的压力降可以用式（3－17）来计算3222d331.307100.0111/0.0174/()d(0.05)dmpupLNmmxb作业：P72:3-1第3节圆管内的稳态层流流体在圆管内的流动是工业过程中最为常见的一种流动形式。本节主要研究流体在圆管内流动时的速度分布和流动阻力。现考察粘性不可压缩流体在水平圆管内的稳态层流，并设所考察的部位远离管路进出口。流动方向为轴向一维流动。3.1数学模型的建立由于管内流动属于轴对称流动，故采用柱坐标系下的运动方程较为方便。如图所示，已知流体在直径为d(半径为ri)的圆管中流动，流动方向为z方向，