(上海版)高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编-专题05.数列、数学归纳法与极限-理(含解析)

（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编专题05.数列、数学归纳法与极限理（含解析）一．基础题组1.【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知数列na是首项为1，公差为2的等差数列，()nSnN表示数列na的前n项和，则2lim1nnSn．2.【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如果函数xxfalog)(的图像过点1,12P，2lim()nnaaa________.3.【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】设数列{}na，以下说法正确的是（）A．若2=4nna，*nN，则{}na为等比数列B．若221nnnaaa，*nN，则{}na为等比数列C．若2mnmnaa，*,mnN，则{}na为等比数列D．若312nnnnaaaa，*nN，则{}na为等比数列【答案】C【解析】4.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】等差数列na的通项公式为28nan，下列四个命题．1：数列na是递增数列；2：数列nna是递增数列；3：数列nan是递增数列；4：数列2na是递增数列．其中真命题的是．5.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知数列{}na是首项为1a，公差为(02)dd的等差数列，若数列{cos}na是等比数列，则其公比为（）.A1.B1.C1.D26.【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知等差数列*(N)nan的公差为3，11a，前n项和为nS，则nnnSnalim的数值是．7.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知首项31a的无穷等比数列na)(*Nn的各项和等于4，则这个数列na的公比是．8.【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】2135(21)lim331nnnn．二．能力题组1.【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】定义函数}}{{)(xxxf，其中}{x表示不小于x的最小整数，如2}4.1{，2}3.2{．当],0(nx（*Nn）时，函数)(xf的值域为nA，记集合nA中元素的个数为na，则nnaaa111lim21________________．2.【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设函数)(xfy的定义域为D，若对于任意1x、Dx2，当axx221时，恒有bxfxf2)()(21，则称点),(ba为函数)(xfy图像的对称中心．研究函数3sin)(xxxf的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到20144027201440262014220141ffff的值为……………………（）A．4027B．4027C．8054D．80543.【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知二次函数2()()fxxaxaxR同时满足：①不等式()0fx≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120xx，使得不等式12()()fxfx成立．设数列na的前n项和为nS，且()nSfn．规定：各项均不为零的数列nb中，所有满足10iibb的正整数i的个数称为这个数列nb的变号数．若令1nnaba（*nN），则数列nb的变号数等于．4.【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】以m,0间的整数Nmm,1为分子，以m为分母组成分数集合1A，其所有元素和为1a；以2,0m间的整数Nmm,1为分子，以2m为分母组成不属于集合1A的分数集合2A，其所有元素和为2a；……，依次类推以nm,0间的整数Nmm,1为分子，以nm为分母组成不属于121,,,nAAA的分数集合nA，其所有元素和为na；则12naaa=________.【答案】12nm【解析】试题分析：依题意可得112ma.因为以2m为分母组成属于集合1A的元素为2222(1),,,mmmmmmm即12(1),,,mmmm.所有这些元素的和为1a.所以221212(1)maam.即212212(1)maam同理3123312(1)maaam.….12312(1)nnnmaaaam.所以可得12naaa=12nm.考点：1.数列的求和.2.估算的思想.3.分类讨论的数学思想.5.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】设各项均不为零的数列nc中，所有满足01iicc的正整数i的个数称为这个数列nc的变号数.已知数列na的前n项和442nnSn，nnab41（*Nn），则数列nb的变号数为.6.【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知定义在,0上的函数)(xf满足)2(3)(xfxf.当2,0x时xxxf2)(2.设)(xf在nn2,22上的最大值为na，且数列}{na的前n项和为nS，则nnSlim.（其中*Nn）考点：1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.7.【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】已知数列na，对任意的*kN，当3nk时，3nnaa；当3nk时，nan，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．8.【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】函数21(2)yx图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是--------------------（）A．23B．21C．33D．3三．拔高题组1.【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：2,11,11,2fff；,fij为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式2,fj和3,fj；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求,1fi关于i（1,2,,in）的表达式；（3）若,111ifiia，11iiibaa，试求一个等比数列1,2,,giin，使得121123nnSbgbgbgn，且对于任意的11,43m，均存在实数，当n时，都有nSm．1,11,21,11,2,12,22,13,13,2,1fffnfnfffnffnfn试题解析：（1）2,1,1,121,4841,2,,1fjfjfjfjjjn3,2,2,122,8284816161,2,,2fjfjfjfjjjjn．----（3分）132113nm23log1113nm，令23log113m，则当n时，都有nSm，适合题设的一个等比数列为()2igi．------------------------------------（18分）考点：（1）等差数列的通项公式；（2）由递推公式求通项公式；（3）数列的和与不等式综合问题．2.【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设数列}{na，}{nb，}{nc，已知41a，31b，51c，nnaa1，21nnncab，21nnnbac（*Nn）．（1）求数列}{nnbc的通项公式；（2）求证：对任意*Nn，nncb为定值；（3）设nS为数列}{nc的前n项和，若对任意*Nn，都有]3,1[)4(nSpn，求实数p的取值范围．试题解析：（1）因为nnaa1，41a，所以4na（*Nn），…………………（１分）所以222421nnnnncccab，2221nnnnbbac，3.【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】平面直角坐标系xoy中，已知点(,)nna(*)nN在函数(2,)xyaaaN≥的图像上，点(,)nnb(*)nN在直线(1)yaxb()bR上．（1）若点1(1,)a与点1(1,)b重合，且22ab，求数列nb的通项公式；（2）证明：当2a时，数列na中任意三项都不能构成等差数列；（3）当1b时，记|,nAxxanN，|,nBxxbnN，设CAB，将集合C的元素按从小到大的顺序排列组成数列nc，写出数列nc的通项公式nc．【答案】（1）31nbn；（2）参考解析；（3）2(*)nncanN【解析】(3)当1b时,设0mC,则0mA,且0mB,设0()tmat*N,0(1)1()mass*N,则(1)1taas,所以11tasa,因为,,ats*N,且2a,所以1ta能被1a整除.○1当1t时,11asa*N；○2当2()tnn*N时,222121[(1)1]1(1)(1)11nnnnaaaCa,所以tab能被1a整除.4.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列na，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列nb，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？110a29.5a3a4a…………12b2b33b4b…………【解析】试题分析：（1）由题意，数列na先按等差数列进行递减，直到为零为止，是一个分段函数.数列nb先3431316.3021n……………………13分到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分考点：求数列通项5.【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知数列na满足nnnnnnaaaaa3,)1(,12121221(*Nn)．(1)求753aaa、、的值；(2)求12na(用含n的式子表示)；(3)(理)记数列na的前n项和为nS，求nS(用含n的式子表示)．试题解析：(1)nnnnnnaaaaa3,)1(,12121221(*Nn)，1211324325465376(1)0,33,14,313,112,339.aaaaaaaaaaaa01当n为偶数时，12341()()()nnnSaaaaaa122(32)(32)(32)n233322nn．02当n为奇