直线中的最值问题[1]

例1、已知直线y=x和两定点A(1,1),B(2,2)在此直线上取一点P，使|PA|2+|PB|2最小，求点P的坐标。21解：设P(x,y)，则xy21又|PA|2+|PB|2=(x－1)2+(y－1)2+(x－2)2+(y－2)21019)109(102y最小时当22||||,109PBPAy99(,)510P此时例2、已知定点A(0,3)，动点B在直线：y=1上，动点C在直线：y=－1上，且∠BAC=，求△ABC面积的最小值。1224162122abS解：设B(a,1)、C(b,－1)∵AC⊥AB∴ab=－8221682aa≥8min22,844aaSbb当或时)3,0(Axyoy=1y=－1B(a,1)C(b,－1)求函数最值的方法：1、配方法——________________________2、不等式法——______________________3、数形结合法——_______________________________________________针对二次函数针对和（积）定的函数先作出函数的图象，再利用函数图象的特征解题更多资源xiti123.taobao.com例3、m为何值时，平面上三点A(1，2)、B(3，1)、C(2，3)到直线y=mx的距离的平方和为最小？解：由题所求距离平方和为1)32()13()2(2222mmmmd114221422mmmmm12214221432d当m＞0时当且仅当m=1时，dmin=3当m＜0时2522214d当且仅当m=－1时，dmax=25更多资源xiti123.taobao.com练习：1、点P(x,y)在直线x+y－4=0上，O是原点，求|OP|的最小值。2、直线2x－y－5=0上有一点M，它到点A(－7，1)和点B(－5，5)的距离之和最小，求M的坐标。3、点A(1,3)、B(5,－2)，在x轴上选一点P，求P点的坐标：(1)使||PA|－|PB||最大；(2)使|PA|+|PB|最小。当x=2时，|OP|min=22M(2,－1)(1)P(13,0)；(2)P(,0)5174、在直线y=x+2上，求与直线3x－4y+8=0和直线3x－y－1=0的距离的平方和为最小的点的坐标。5、直线过点P(2,1)和两坐标轴的正方向交于A、B两点，求直线的方程：（1）它使△AOB的面积为最小；（2）它使|PA||PB|为最小。)1137,1115(x+2y－4=0x+y－3=0例2、已知平面上两点A(4，1)和B(0，4)在直线：3x－y－1=0上求一点M，(1)使||MA|－|MB||为最大；xyoB(0,4))1,4(A1(3,3)BM由图知：A、B1、M三点共线且M在线段AB1的延长线上时，||MA|－|MB||最大分析：先求B关于的对称点B1013092yxyx此时∴M(2,5)(2)使|MA|+|MB|为最小。xyoB(0,4))1,4(AM解：由图知：A、M、B三点共线且M在线段AB上时，|MA|+|MB|最小0130643yxyx此时4(,3)3M∵|M1A|+|M1B|≥|AB|M1