李雅普诺夫第二法

9/14/2020第4章稳定性与李雅普诺夫方法4.3李雅普诺夫第二法9/14/20204.3李雅普诺夫第二法李氏第二法（直接法）：通过构造李氏函数，从能量的角度直接判断系统稳定性。逐渐衰减至最小值渐近稳定储能不变李氏稳定储能越来越大不稳定系统被激励储能随时间思路：对于一个给定的系统，如果能够找到一个正定的标量函数V(x)（广义能量函数）,显然可以根据该函数的导数来确定能量随着时间的推移是减小的，还是增加的，或者是保持不变的。()Vx平衡处是否稳定。系统在的符号性质来直接判断及李氏直接法：利用)x(V)x(V9/14/2020（3），则称是负定的。4.3李雅普诺夫第二法1.标量函数符号性质设是向量x的标量函数，且在x=0处，恒有对所有在定义域中的任何非零向量x，如果成立：4.3.1预备知识（1），则称是正定的。（2），则称是半正定(非负定)的。（4），则称是半负定(非正定)的。（5），或则称是不定的。9/14/2020例设4.3李雅普诺夫第二法22122)()Vxxx221231)()()Vxxxx123Txxxx）是半正定的。（，所以）（也使），，（，有，而且对非零向量）（因为xVxVa-axxV0,0000T）是半正定的。（，所以）（也使），，（，有，而且对非零向量）（因为xVxVa00xxV0,000T9/14/20202.二次型标量函数个变量，为，，设nxxxn21二次型标量函数可写为11121121222121()nTnnnnnpppxppxVxxPxxxxppx12221122312323110()2110001xVxxxxxxxxxxx其中，P为实对称矩阵。例如：4.3李雅普诺夫第二法9/14/2020二次型函数，若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换，使之化为：xTx1221()()00TTTTTTnTiiinVxxPxxTPTxxTPTxxPxxxx此称为二次型函数的标准型，为P的特征值，则正定的充要条件是P的特征值均大于0。ii()Vx4.3李雅普诺夫第二法9/14/2020矩阵P的符号性质定义如下：设P为n×n实对称阵，为由P决定的二次型函数，则（1）正定，则P正定矩阵，记为P0;（2）负定，则P负定矩阵，记为P0;（3）半正定，则P半正定矩阵，记为P≥0;（4）半负定，则P半负定矩阵，记为P≤0;()TVxxPx()Vx()Vx()Vx()Vx4.3李雅普诺夫第二法9/14/20203、希尔维斯特判据设实对称阵为其各阶顺序主子式，即矩阵P或V(x)定号性的充要条件是：1112121221,nijjinnnpppppPppppi111211122122,,,npppPpp4.3李雅普诺夫第二法9/14/2020(2)若，则P负定；(1)若，则P正定；(3)若，则P半正定；(4)若，则P半负定；0(1,2,,)iin0(0(iii为偶数)为奇数)0(0(iii=1,2,,n-1)=n)0((0(iiii为偶数)0为奇数)=n)4.3李雅普诺夫第二法9/14/2020解：二次型可以写为,,222123122313()104224Vxxxxxxxxxx例证明如下二次型函数是正定的。可见此二次型函数是正定的，即4.3李雅普诺夫第二法9/14/2020定理设系统的状态方程为如果平衡状态即，如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是半负定的。则平衡状态为在李亚普诺夫意义下的稳定。4.3.2几个稳定性判据(),xfx()Vx()Vx0,ex()0efx()Vxex4.3李雅普诺夫第二法9/14/20204.3.2几个稳定性判据定理设系统的状态方程为如果平衡状态即，如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是负定的；或者为半负定，对任意初始状态，除去x=0外，有不恒为0。则平衡状态是渐近稳定的。进一步当，有，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。(),xfx()Vxx()Vx()Vx0,ex()0efx()Vxex()Vx0()0xt()Vx4.3李雅普诺夫第二法9/14/20204.3.2几个稳定性判据定理设系统的状态方程为如果平衡状态即，如果存在标量函数V(x)满足：1）对所有x具有一阶连续偏导数。2）是正定的；3）若是正定的。则平衡状态是不稳定的。(),xfx()Vx()Vx0,ex()0efx()Vxex4.3李雅普诺夫第二法9/14/2020说明：（1），则此时，系统轨迹将在某个曲面上，而不能收敛于原点，因此不是渐近稳定。（2）不恒等于0，说明轨迹在某个时刻与曲面相交，但仍会收敛于原点，所以是渐近稳定。（3）稳定判据只是充分条件而非必要条件！()0Vx()VxC()Vx()VxC4.3李雅普诺夫第二法C)x(V2x1xex0xC)x(V2x1xex0x9/14/2020解:显然，原点是系统平衡点，取，则又因为当时，有，所以系统在原点处是大范围渐近稳定的。e0x2212()0Vxxxx()Vx222211221211221212222222121122121222212()222(())2(())22()22()2()Vxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例4-4已知系统试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。22121122221212()()xxxxxxxxxx4.3李雅普诺夫第二法0令0x10x29/14/2020【例4-5】已知系统的状态方程，试分析平衡状态的稳定性。解：线性系统，故是其唯一平衡点。将矩阵形式的状态方程展开得到：取标量函数(李雅谱诺夫函数)：0111xx0ex12212xxxxx2212()0Vxxx211222()()2220dVxVxxxxxxdt且当时，，x()Vx4.3李雅普诺夫第二法半负定，不恒为0，渐近稳定。所以系统在其原点处大范围渐近稳定。9/14/202012212xxxxx12212xxxxx另选一个李雅普诺夫函数：22212121()[()2]2Vxxxxx221212112212()()()2()Vxxxxxxxxxxx当时，，所以系统在其原点处大范围渐近稳定。x()Vx4.3李雅普诺夫第二法9/14/2020解:系统具有唯一的平衡点。取则于是知系统在原点处不稳定。e0x2212()0Vxxx22112212()222()0Vxxxxxxx例4-8系统的状态方程为试确定系统在其平衡状态的稳定性。112212xxxxxx4.3李雅普诺夫第二法9/14/20204.3.3对李雅谱诺夫函数的讨论（1）V(x)是正定的标量函数，V(x)具有一阶连续偏导数；（2）并不是对所有的系统都能找到V(x)来证明该系统稳定或者不稳定；（3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；（4）V(x)最简单的形式是二次型；（5）V(x)只是提供平衡点附近的运动情况，丝毫不能反映域外运动的任何信息；（6）构造V(x)需要一定的技巧。()TVxxPx4.3李雅普诺夫第二法