交叉耦合滤波器的综合设计

交叉耦合网络模型用广义切比雪夫函数综合网络传输零点从网络特征函数导出短路导纳参数从短路导纳参数提取耦合矩阵指定--有限零点带内回波损耗滤波器阶数S21(s)和S11(s)的表达式y21(s)和y22(s)的表达式阻抗矩阵↓等效双端口网络模型双端口网络参数及其相互转换S21，S11响应曲线交叉耦合滤波器的综合包含源-负载耦合的耦合矩阵综合相关Matlab程序幺正性N阶耦合矩阵N+2阶耦合矩阵Amari的多项式递归方法复零点改善群时延的原理耦合矩阵的线性变换跨耦合引入有限零点的原理Amari的多项式递归方法§双端口网络参数及其相互转换============================================================----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------端口电压电流(V1V2I1I2)→入射/反射波电压(a1b1a2b2)→散射矩阵参数(S11S21)Ref.Jia-ShengHong“MicrostripFiltersforRFMicrowaveApplications”2.1&2.2----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------参考网络理论，在保证功率不变的前提下对各个端口电压电流归一化。0/nnnvVZ0nnniIZ其中0nZ表示从端口n向外看的特性阻抗。图中nanb分别表示入射波和反射波电压的归一化值nvnv有nnnnnnvabiab即双端口网络散射矩阵如下定义：----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------短路导纳参数(y)开路网络参数(z)→输入阻抗(Z)→反射系数(S11)Ref.黄席椿高顺泉《滤波器综合设计原理》3.4&6.4----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------用短路导纳参数11122122yyyy表示双端口网络的基本方程11111222211222IyVyVIyVyV=22121122111212yyVIIyyyyVIIyy①②其中121122122121122yyyyyyyy用开路网络参数表示11111222211222zzzzVIIVII=2211122111221221zzzzyyyyyyyy将2202VIZ代入基本方程②，可得21211102yIIyZy再代入①得：1102221122021zzZyVIZ=输入阻抗110222111122021z()zZyVZsIZ网络无耗，输入功率1P等于负载功率2P，若在实频率ω下输入阻抗11()ZjRjX，有2220021122011101VRVRPPIRZZZRX20max014VPZ根据反射系数定义2222010101112112222max011101014()11()ZRXZRZZjPSPZZjZRXZRX进行解析开拓01110111111101110111()()()()()()ZZsZZsSsSsZZsZZs于是0111110111()()()ZZsSsZZs=111101111()()1()SsZsZSs§交叉耦合网络模型Ref.Jia-ShengHong“MicrostripFiltersforRFMicrowaveApplications”chapter8============================================================根据Kirchhoff电压定律，各谐振回路电压之和为0，列出电路环路方程组：Lij=Lji，表征谐振器i与谐振器j之间的互感系数，这里假设为电感耦合(电耦合)，因此互耦合引起的电压降带负号。将方程组用矩阵形式表示：即[Z]·[i]=[e]，其中[Z]为n×n阻抗矩阵。这里我们可首先考虑同步调谐滤波器，即各谐振器具有同一谐振频率0，那么滤波器的中心频率也为01/LC，其中且下面对阻抗矩阵进行归一化。定义相对带宽Z为归一化阻抗矩阵，满足s定义外部品质因数Qe满足定义耦合系数对于窄带滤波器有归一化阻抗矩阵可改写为：以上滤波器电路模型可看作双端口网络根据“双端口网络参数及其相互转换”一节的讨论，有由[Z]·[i]=[e]，得散射矩阵有如下表示方法上述分析方法对非异步调谐亦适用。所谓异步调谐，意思是各谐振器的谐振频率可以不等于滤波器中心频率0，这等于增加了优化的输入变量(即自耦合系数)，能更充分地挖掘滤波器的潜力。这时归一化阻抗矩阵表示为：§用广义切比雪夫函数综合网络传输零点============================================================Ref.RichardJ.Cameron“GeneralCouplingMatrixSynthesisMethodsforChebyshevFilteringFunctions”----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------满足广义切比雪夫特性的网络参数(S11,S21,Cn)相互关系----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------定义网络传输函数21Ss，反射系数11Ss，特征函数NCs，三者满足：1121NSCS-----①----②双端口无损网络能量守恒----③由①②③看出，3种网络参数都可以表示成2个多项式的比值。其中特征函数应具有N阶切比雪夫特性：1时1NC，1时1NC，1时1NC令其中(归一化的传输零点)不难看出，NC符合切比雪夫多项式特性。下面求NENFNP这3个多项式的系数，对应传输函数和反射系数的零极点由③看出2()()()()()()PsPsEsEsFsFs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------传输零点(ωn)→S11,S21,Cn表达式----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------首先求NF和NP的表达式，即将NC分解成两分式比值。其中其中显然，NC的分母由传输零点n组成，下面将NC的分子单独提出来分析其中用迭代的方法分析NG得到迭代关系：总共进行N-1次迭代（包括所有无限零点），最终同理，分析会发现所以，至此，各项系数已确定，根据2()()()()()()PsPsEsEsFsFs可得到()Es表达式，最终得到：§从网络特征函数导出短路导纳参数Ref.RichardJ.Cameron“GeneralCouplingMatrixSynthesisMethodsforChebyshevFilteringFunctions”============================================================由“双端口网络参数及其相互转换”的结论：111101111()()1()SsZsZSs1102221122021z()zZyZsZ将01Z归一化为1，并将上面求得的11()Ss的解析式代入其中m、n分别为偶、奇次多项式求偶、奇次多项式：ie和if分别是E(s)和F(s)的实系数，因此m1的奇次项系数为0，n1的偶次项系数为0在偶阶情况下，n1阶数小于m1，将n1提出=由于21y和22y的分母相同，21y分子和21()Ss有相同的传输零点，得：同理，在奇阶情况下§从短路导纳参数提取耦合矩阵Ref.RichardJ.Cameron“GeneralCouplingMatrixSynthesisMethodsforChebyshevFilteringFunctions”============================================================将N阶交叉耦合滤波器器视为一个二端口网络（上上图），并对源阻抗和负载进行归一化（上图），得到系统导纳矩阵：“交叉耦合网络模型”一节中讨论过N阶谐振网络的环路方程组计算该双端口网络的短路导纳参数由于M是实对称矩阵，有以下结论：1.M的特征值均为实数，2.对应于两个不同的特征值的两个特征向量是正交的存在N×N阶正交矩阵T，满足tMTT其中123,,,,Ndiag，i是-M的特征值，且tTTI代入上式：等式右边可化为即将前面求得的21()ys和22()ys的表达式代入，即可求出T的第一行和最后一行其中，分别是和各个特征根的留数。还可求出123,,,,Ndiag构造一组满秩基rank(T)=N121,11,1kkNNNkNkNNNNTTTTTTTTT保持T的首尾行不变！对这组基进行正交变换，就能得到一组标准正交基，即正交矩阵T。最后由tMTT求出耦合矩阵。以上求解的是源阻抗和负载归一化后的耦合矩阵，去归一化的方法为：§散射矩阵的幺正性============================================================----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------分析双端口无耗互易网络散射矩阵的幺正性→S11,S21相位之间的关系Ref.吴万春梁昌洪《微波网络及其应用》第一章----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------在微波传输线中，横向电场和磁场是决定功率沿轴向传输的量，通常用他们来定义线上的电压和电流，即传输线上的电压与其横向电场成比例，电流与其横向磁场成比例，可以把横向电场和