平面曲线的参数方程

1§2.1平面曲线的方程—参数方程解析几何第二章轨迹与方程§2.2曲面的方程—普通方程§2.3空间曲线的方程§2.2曲面的方程—参数方程2第二章轨迹与方程教学安排说明82.1.2.课时通过本章的学习，使学生掌握平面曲线、空间曲线的参数方程；理解曲面的普通方程和参数方程；掌握球面、圆柱面的普通方程和参数方程；理解轨迹与方程的概念。1.空间曲线的参数方程；平面平面曲线的参数方程；3.空间曲面的普通方程和参数方程。教学时数：平面本章教学曲线的参目标及要求：本章数方程；教学重点曲面和空：本章教学难间曲线点：的方程。返回3§2.1平面曲线的参数方程2课时求平面曲线的参数方程；1.平面曲线参数方程的求法；2.几类常见曲线的参数方程。1.理解向量函数、参数方程的概念；2.掌握求平面曲线参数方程的步骤；教学时数：教学重点：教学难点：教学目标3.熟悉几种常见曲线的参：数方程.返回4复习()()abcabcabc把数量叫三向量、、的混合积,记作定义:。,,|1.|abcV：）定理（；  (2)0abcabc三向量、、共面.；=()()()()(3.)abcbcacabbaccbaacb(）；111111222333222333=,,=,,=,=4,xyzaxyzbxyzcxyzabcxyzxyz设,,,则.；结束(,)=||[cos]5sinirrrij.平面上设，则。在高中的平面曲线内容中我们重点学了的普通方程，但对复杂的平面曲线普通方程是远远不够的，需要进一步学习平面曲线的参数方程。5一、向量函数1.当动点按照某种规律变化时，以它为终点的向径也在变化，我们称这样的向径为变向量：变向量。 ,=()Dtrttrrtrrt在某个变化过程中，有一个变量和一个变向量，若对的每一个值按照某种对应法则，都有唯一确定的值和它对应，我们就称是2.向量函数:的向量函数。记作：。x0y6二、平面曲线的参数方程12()()()(1),()()(1)(1)CDCCCCrtxteytetrtrtt的设曲线和向量函数如果对任意值，向量的终点总在1曲线上；反之曲线上任意一点，总对应以它为终点的向径。就称是的曲线，是的向量式参数方程,.其向量式参数方:中程为参数。,(),()xxtDyyttt2.坐标式参数方程曲线的向量式参数方程改写成：，为参数，叫做曲线的坐标式参：数方程。7例100()(1)XYxxtltyyt得的坐标式参数方程，为参数000000=MMOMrOMrvMMtvrrtvrrtvlt设，，因为与共线，即，有，，是的向量式参数方程，为参数。000(,),={.,}lMxyvXYl已知直线过定点且它与非零向量共线,求直线例1的方程。(,)Mxyl设是上的任解：意一点，00||||||vMMtMMt当是单位向量时有，即到间的距离为。OXYM0M8例2(,)(,)2=,2MiOMiAMarOAAMOAi如图为圆上任意一点，且，解，，而所以：得设则为该圆的向量式参数方程。(,0)222.aaA求圆心在，半径为的圆的例参数方程。M22coscossinxaya而坐标式参数方程为。2(cos2sin2),2(cos)(cossin)(0)aAMijriaja故，且为参数OAXY9例33.a求半径为的圆的渐伸例线方程。||[cos()sin()]22(sincos)(cossin)(sincos)BPBARBPRijRijriRjR，，故，(,),(cossin)(,)22BPrOPOBBPiOBOBRiji解：显然，设，（大小是方向相反）YOPBXA为动点的向量式参数程。而坐标式参数方程呢？10例44：求圆的内例摆线的方程。PABCrOPOCCP设运动开始时动点和大圆上的点重合，经一过程后，大小圆的切点为，圆心到了，此时解：，XOYCBAP,(,)()||()cos()sin||(,)()[()coscos][()sinsin]()CBOCCPCPiOCabOCiabjabaABPBbaabaCPbibbbbabariabbjabbbb设，，而，，，，又，，所以，为参数为内摆线的向量式参数方程。11例55R一半径为的圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一例：点的轨迹。POAC适当建立直角坐标系，设点开始在原点，经过一段时间后，圆与直线的切点为，圆心：到了解，YOPACX(,)rOAACCPCPACOAaiACaj此时，设，而，，(,)()||[cos()]sin()]222sincosCPiCPaCPaijiaja又，，，(sin)(1cos)riaja所以即动点的向量式参数方程，坐标式参数方程呢？12小结()()()()()jxxtrtxtiytyyt向量式：；坐式：。标2.平面曲线普通方程的定义,0CFxy如果曲线与二元方程存在下述关系：,0,0CCFxyCCFxy(1)曲线上任意一点的坐标都满足方程；(2)满足方程的点的坐标都在曲线上。那么方程（）就叫做曲线的方程，而曲线就叫做方程（）的图形。结束77 569.P习题、作、业：||cos||sin.jaiaa1.平面曲线的参数方程。定理：13§2.2曲面的普通方程2课时曲面方程的定义和球面的普通方程；1.球面的普通方程和标准方程；2.圆柱面的方程。1.理解曲面方程的定义；2.掌握球面的普通方程和标准方程；3.熟悉圆柱面的普通方程；教学时数：教学重点：教学难点4.培养学生的空间：教学目标：想象能力。返回14复习()()()()()jxxtrtxtiytyyt向量式：；坐式：。标2.平面曲线普通方程的定义,0CFxy如果曲线与二元方程存在下述关系：,0,0CCFxyCCFxy(1)曲线上任意一点的坐标都满足方程；(2)满足方程的点的坐标都在曲线上。那么方程（）就叫做曲线的方程，而曲线就叫做方程（）的图形。结束||cos||sin.jaiaa1.平面曲线的参数方程。定理：15(,,)0Fxyz。空间曲面普通方程的形式是：可见：220(0,0,)xyzz方程表示一直即，点满足方程。③条线轴22210xyz方程不表示任何实形，叫虚曲面；②图一、曲面方程的定义,,0SFxyz如果曲面与三元方程存在下述关系：(2)(,,)0SFxyzSSS(1)曲面上任意一点的坐标都满足方程；满足方程的点的坐标都在曲面上。那么方程就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形。   它一般表示空曲面，特殊情可表示一、一直、甚至不表示任何形。间况点条线图2220xyz如：方程表示原；①点16222,21426270xyzxyz化得所求方程：。简A二、求曲面方程的步骤设是所求平解：面上任一点，1,2,32,1,31..ABAB已知、，求线段的垂直平分面的方程例(,,1,)23Pxyz（）建立适当的空间直角坐标系；（）设曲面上动点按已知条件推出动点满足的方程；（）对方程进行同解化简。222123||||,xyzMAMB有即17例2、3xyz0.-yxxozyM另两个坐标面的方程呢？(,):0.Mxyyozx设是面上任一点，根据题意有：解3.求三坐程例面的方。个标2.xozyoz两标求坐面和所成二面角的平分例面方程。,:(,)Mxyz设点是曲面上任一解，||||0.yxyx题为依意：，所求方程：18MyzxOABC例4 4.R点径为求球心在原，半例的球面的方程。00002222000(,,)MxyzxxyyzzR当时为球心在球面的方程。,,Mxyz()是球面上，解：任一设点||MOR根据意有：，题222xyzR，化得球面的简2222.xyzR准方程：标19222222(/2)(/2)(/2)(4)/4.xAyBzCABCD2222222222()0.xyzaxbyczabcR三、球面方程的讨论1.2.0平方项系数相等；交叉项系数为。1反之，由一般式方程（），配方又可得到：经过222222222404=0 40 ABCDABCDABCD表表表示球面；示一叫球；示球面。时实当时点点当时虚当2222000xxyyzzR由（）（）（）展得球面的一般方程：开2220(1)CDxyzAxByz即：其特是：点20O221xy22 xy在平面坐标系中，１表示一个圆。而在空间坐标系中表示什么讨论：图形呢？22111111111111(,)1(,,0)(,,)(,,)(,,0)AxyxyAxyxyhxyhxyh设在圆上，即，则在空间直角坐标系中的坐标是也满足上面方程，类似地同样满足上述方程，而点可认为是点向上平移个单位而得到。四、圆柱面方程讨论yxz2122221xyabOzxyzxy22ypxO二次柱面221  xyzl可见：在空间表示的是：由平行于轴的直线沿曲线圆移动而成，这种曲面叫圆柱面。曲线叫它的准线，形成柱面的直线叫它的母线。它的准分是、曲、物，所以分叫柱面、曲柱面、物柱面，二次柱面都是。们线别椭圆双线抛线别椭圆双抛222222222+=1=12xyxyypxabab、－、都表如：示一柱面。个22小结,,0(2)(,,)0SFxyzSSFxyzSS如果曲面与三元方程存在下述关系：(1)曲面上任一点的坐标都满足方程；满足方程的点的坐标都在曲面上。则方程叫曲面的方程，而曲面叫方程1.的图形．1,3(,,)2Pxyz2求曲面的步骤：（）建立适当的空间直角坐标系；（）设曲面上动点按已知条件推出动点满足的方程；（）对方程进行.同解化简。2221200CDxyzAxByz（）平方项系数相等；（）交球面叉项方程的系数特3为。：.点它的准分是、曲、物，所以分叫柱面、曲柱二面、物柱面，都是4.次柱面。们线别椭圆双线抛线别椭圆双抛结束78  212323P习题（）作业：（）；（）（）222xya研究题研究方程：的图形。23§2.2曲面的参数方程2课时曲面的参数方程；1.曲面的参数方程的求法；2.球坐标和柱坐标。1.理解曲面参数方程的概念；2.掌握球面的参数方程；3.熟悉圆柱面的参数方程教学时数：；教学重点：教学难4.培养学生的空点：教学目标：间想象能力。返回24复习,,0(2)(,,)0SFxyzSSFxyzSS如果曲面与三元方程存在下述关系：(1)曲面上任一点的坐标都满足方程；满足方程的点的坐标都在曲面上。则方程叫曲面的方程，而曲面叫方程1.的图形．1,3(,,)2Pxyz2求曲面的步骤：（）建立适当的空间直角坐标系；（）设曲面上动点按已知条件推出动点满足的方程；（）对方程进行.同解化简。2221200CDxyzAxByz（）平方项系数相等；（）交球面叉项方程的系数特3为。：.点它的准分是、曲、物，所以分叫柱面、曲柱二面、物柱面，都是4.次柱面。们线别椭圆双线抛线别椭圆双抛结束25一、曲面的参数方程(,)(,)(,)(,)(1)ruvxuviyuvjzuvk而空间曲面的参数方程将是双参数的向量函数，即。()()()rtxtiytj参数方程是解析几何联系实际的一个重要工具，有时用参数方程来表示曲线或曲面要比普通方程简单得多，这是因为设定了参数相当于增加了已知条件，甚至有的曲线或曲面只能用参数方程来表示，而不能用普通方程表示。我们知道平面曲线的参数方程曲