等比数列的概念及基本运算

第37讲等比数列的概念及基本运算1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式，前n项和公式及其性质．3．能运用等比数列的概念、公式及性质解决相关问题．1．等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第二项起，_____________________等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，首项记作a1，公比记作q.(2)表示形式：________________.(3)等比中项：如果三个数a、G、b成_____________，那么G叫做a，b的等比中项，即_____________.(4)通项公式：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝__________.每一项与前一项的比等比数列G2＝aba1·qn－12．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·_______(m，n∈N*)．(2)在等比数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝_________.(3)若{an}、{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．qn－map·aq3．等比数列前n项和公式(1)等比数列{an}的公比为q，其前n项和公式为Sn，当q＝1时，Sn＝______；当q≠1时，Sn＝____________＝____________.(2)等比数列前n项和公式的性质：若{an}是公比为q(q≠－1)的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等比数列，且公比为______.na1qn1．等比数列{an}的单调性(1)满足a10，q1或a10，0q1时，{an}是递增数列．(2)满足a10，0q1或a10，q1时，{an}是递减数列．(3)满足a1≠0，q＝1时，{an}是常数列．(4)满足q0时，{an}是摆动数列．2．等比数列前n项和公式的特征：当等比数列的公比q≠1时，Sn＝Aqn＋B⇔A＋B＝0.1．等比数列－12，14，－18，…的通项公式是()A．an＝(－12)nB．an＝(－12)n＋1C．an＝－(12)nD．an＝－(12)n＋1解：因为数列是等比数列，又a1＝－12，公比q＝－12，所以an＝a1·qn－1＝(－12)n.答案：A2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84解：设等比数列的公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21.又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42.答案：B3．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解：从项的下标入手寻找规律，下标成等差数列，对应的项成等比数列．因为a26＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．答案：D4．已知{an}为等比数列，且an＞0，若a5a7＋2a6a8＋a7a9＝100，则a6＋a8等于()A．8B．9C．10D．11解：因为a5a7＝a26，a7a9＝a28，所以a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a26＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又an＞0，所以a6＋a8＝10.答案：C5．等比数列{an}中，a3＝7，前3项的和为S3＝21，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12解：当q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝21，故q＝1满足，排除B，D；当q＝－12时，a1＝a3q2＝28，a2＝a3q＝－14，S3＝a1＋a2＋a3＝21，所以q＝－12也满足，故选C.答案：C等比数列的基本量的运算等比数列的性质及应用等比数列的判断与证明考点一·等比数列的基本量的运算【例1】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝____________.解：(方法一)当q＝1时，S3＝3a1，S2＝2a1，由S3＋3S2＝0得，9a1＝0，所以a1＝0与{an}是等比数列矛盾，故q≠1.当q≠1时，由S3＋3S2＝0得，a11－q31－q＋3a11－q21－q＝0，解得q＝－2.(方法二)由S3＋3S2＝0得，a1(1＋q＋q2)＋3a1(1＋q)＝0，因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2.答案：－2点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项a1和公比q，求解时，要注意方程思想的运用．(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比q是否为1.当n较小时，直接利用前n项和的意义展开，不仅可避开公比q的讨论，还可使求解过程简捷．【变式探究】1．(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝.解：设{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，所以a11－q31－q＝74，a11－q61－q＝634，解得a1＝14，q＝2，所以a8＝14×27＝25＝32.考点二·等比数列的性质及应用【例2】(1)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7(2)公比不为1的等比数列{an}中前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，则S30＝__________.解：(1)(方法一)利用等比数列的通项公式求解．由题意得a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，a5a6＝a1q4×a1q5＝－8，所以q3＝－2，a1＝1，或q3＝－12，a1＝－8.所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.(方法二)利用等比数列的性质求解．由a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8，解得a4＝－2，a7＝4，或a4＝4，a7＝－2，所以q3＝－2，a1＝1，或q3＝－12，a1＝－8.所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.(2)(方法一)设公比为q，则a11－q101－q＝10，a11－q201－q＝30，得1＋q10＝3，所以q10＝2.所以S30＝a11－q301－q＝a11－q101－q(1＋q10＋q20)＝10(1＋2＋22)＝70.(方法二)因为S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，所以S30－30＝30－10210＝40，所以S30＝70.答案：(1)D(2)70点评：在等比数列的计算时，要注意性质的运用和整体代入，以简化运算．等比数列的常用性质：(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.(2)等比数列连续k项的和仍成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k仍成等比数列，公比为qk.【变式探究】2．在等比数列{an}中：(1)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6的值为_______；(2)若an0，且a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值为_________.解：(1)由等比数列的性质知：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，所以(a3＋a4)2＝(a1＋a2)·(a5＋a6)，所以a5＋a6＝a3＋a42a1＋a2＝362324＝4.(2)因为{an}是等比数列，所以a1·a10＝a2·a9＝a3·a8＝a4·a7＝a5·a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝5log3(a5·a6)＝5log39＝10.考点三·等比数列的判断与证明【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：因为an＋Sn＝n，①所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1，所以2(an＋1－1)＝an－1，所以an＋1－1an－1＝12，又a1＋S1＝2a1＝1，所以a1＝12.因为cn＝an－1，所以首项c1＝a1－1＝－12，公比q＝12，所以{cn}是以－12为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)可知cn＝(－12)·(12)n－1＝－(12)n，所以an＝1－(12)n.点评：(1)判断或证明一个数列是等差或等比数列的基本方法是运用定义．(2)在解决等差、等比数列的综合问题时，要树立目标意识：“需要什么，就求什么”，根据目标的需要去变形，去构造，才能快速找到解题途径，达到解决问题的目的．(3)一般地，若an＋1＝pan＋q(p，q是常数)，则可变形为an＋1－λ＝p(an－λ)，利用待定系数法可确定其中的λ.【变式探究】3．(2016·新课标卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1＝1,b2＝13,anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和.分析：要求{an}的通项公式,关键是确定a1,要求{bn}的前n项和,关键是判断{bn}是怎样的数列.因此,解决问题的突破口就是用好条件“anbn＋1＋bn＋1＝nbn”,这一条件,揭示了{an}与{bn}的联系,通过b1,b2可确定a1,从而确定{an}的通项公式；确定了an,则得到了{bn}的递推关系,由此可确定{bn}是怎样的数列,从而求出{bn}的前n项和.解：(1)由已知a1b2＋b2＝b1,b1＝1,b2＝13,得a1＝2.所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn,得bn＋1＝bn3,因此{bn}是首项为1,公比为13的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn＝1－13n1－13＝32－12×3n－1.1．在等比数列中，无论是首项a1、公比q，还是通项an均不会为零，公比q＝1时的等比数列是常数列，即an＝a1.2．等比数列与等差数列之间存在着一种运算的对偶关系．因此，等比数列的复习可类比等差数列的复习进行．例如，在等比数列中，通项公式与前n项和公式也包含有五个量，知道其中三个也可求出另外两个，同样要注意设元技巧，要根据求解目标作整体代换，等比数列和等差数列也有类似的性质和求解技巧等等．3．等比数列求和公式为Sn＝na1q＝1，a11－qn1－qq≠1.在处理等比数列求和的有关问题时，要注意对q进行讨论，若忽视对q＝1的讨论，则会导致“对而不全”．4．证明一个数列是等比数列常用定义法，若证明一个数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．点击进入WORD链接