数学物理方法-吴崇试-习题解答

1．写出下列复数的实部，虚部，模和幅角：（1）13i+；（2）1cossiniαα−+，02απ≤；（3）sinixe，x为实数；（4）ize；（5）ze；（6）41−；（7）1i+；（8）11ii+−；（9）1ie+；（10）()ixeϕ，()xϕ是实变数x的实函数。（1）Re1=，Im3=，22AmReIm2=+=，ImArgarctan22Re3kkπππ⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠=；（2）Re1cosα=−，Imsinα=，()22Am1cossin22cos2sin2=αααα−+=−=，()22sincossin22tanArgcot1cos22sin2αααααα===−，所以Arg22=kπαπ−+；（3）Am1=，Argsin2=xkπ+，()Recossinx=，()Imsinsinx=；（4）zxiy=+，izyixee−+=，Amye−=，Arg2=xkπ+，Recosyex−=，Imsinyex−=；（5）Amxe=，Arg2=ykπ+，Recosxey=，Imsinxey=；（6）()12124441niineeπππ++⎡⎤−==⎣⎦，(n=0，1，2，3)，Am1=，21Arg24n=kππ++，21Recos4n=π+⎛⎞⎜⎟⎝⎠，21Imsin4n=π+⎛⎞⎜⎟⎝⎠；（7）224844122ininieeππππ⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠+==，(n=0，1)，4Am2=，Arg28=nkπππ++，()44Re2cos12cos88nnπππ⎛⎞=+=−⎜⎟⎝⎠，()4Im12sin8nπ=−；（8）()1422224241212inniniiieeeieπππππππ⎛⎞+++⎜⎟⎝⎠−⎡⎤+===⎢⎥−⎣⎦，(n=0，1)，Am1=，Arg24=nkπππ++，()1Re2n−=，()1Im2n−=；（9）Ame=，Arg12kπ=+，Recos1e=，Imsin1e=；（10）Am1=，()Arg2=xkϕπ+，()Recosxϕ=⎡⎤⎣⎦，()Imsinxϕ=⎡⎤⎣⎦；2．把下列关系用几何图形表示出来：（1）2z，2z=，2z；（2）1Re2z，1Im2z；（3）()arg10z−=，()arg13zπ+=，()arg12ziπ+−=；（4）()0arg14zπ−，()0arg14zπ+，()arg1243ziππ−−；（5）argzαβ与Rezγδ的公共区域，α，β，γ，δ均为常数；（6）1zi−，12zi−；（7）zazb−=−，a，b为常数；（8）zazbc−+−=，其中a，b，c，为常数，且cab−；（9）Re1zz+；（10）0arg4ziziπ−⎛⎞⎜⎟+⎝⎠。（1）（2）（3）()()arg1arg10zxiy−=−−=⇔10x−且0y=，即1x，0y=；()()arg1arg1103zxiyxπ+=++=⇔+且()31yx=+；()()arg1arg11102zixiyxπ+−=++−=⇔+=⎡⎤⎣⎦且10y−。（4）()()0arg1arg1014zxiyyxπ−=−−⇔−−⎡⎤⎣⎦；()()0arg1arg1014zxiyyxπ+=++⇔+⎡⎤⎣⎦；()()()()arg12arg120123143zixiyxyxππ−−=−+−⇔−−−⎡⎤⎣⎦；（5）（6）（7）（8）（9）22Re1zzxyx+=++，化简得()2112xy−。（10）()()()222211211xiyzixyixzixiyxy+−−+−−==+++++，所以0arg4ziziπ−⎛⎞⎜⎟+⎝⎠⇔22021xxy−+−，即0x且()2212xy++。3．已知一复数z，画出iz，z−，z，1z，1z，并指出它们之间的几何关系。把z写成ieϕρ，则()2iizeϕπρ+=，即把z逆时针旋转90度。()izeϕπρ+−=，即把z逆时针旋转180度。izeϕρ−=，即z关于实轴的对称点。11iezϕρ=，即z关于单位圆的对称点。11iezϕρ−=，即z关于单位圆的对称点。4．若1z=，试证明1azbbza+=+，a，b为任意复数。()()()()222221azbazbaabzabzbazbbzabzabzababzabza++++++===++++++，所以1azbbza+=+。5．证明下列各式：（1）11argzzzz−≤−+；（2）若123zzz==，则3223111argarg2zzzzzz−=−。（1）先证1argzzz−≤。记izeϕρ=，1122cos2sinarg2izezzϕϕϕϕ−=−=−=≤=。111111argzzzzzzzzzzzzzz−=−+−≤−+−=−+−≤−+。（2）如图，1z，2z，3z在同一圆周上，3231argzzzzα−=−，21argzzβ=。由于同弧所对圆周角是圆心角的一半，所以12αβ=，即3223111argarg2zzzzzz−=−。6．用复数z表示曲线上的变点。（1）写出经过点a且与复数b所代表的矢量平行的直线方程；（2）写出以d和d−为焦点，长轴长2a的椭圆方程（ad）。（1）矢量za−与矢量b平行，所以zakb−=，k为实数；（2）由椭圆定义得2zdzda−++=。7．用复数运算法则推出：（1）平面直角坐标平移公式；（2）平面直角坐标旋转公式。（1）设坐标系xOy′′′的原点O′在坐标系xOy中的坐标是()00,xy。P点在xOy系中的坐标是(),xy，在xOy′′′系中坐标(),xy′′。如上面左图，令OPz=JJJG，OPz′′=JJJG，0OOz′=JJJJG。则0zzz′=−，即()00xiyxxiyy′′+=−+−，由此得0xxx′=−，0yyy′=−。（2）将坐标系xOy绕原点逆时针旋转θ角得到坐标系xOy′′′。如上面右图，xOy′′′系中z′只是比xOy系中z的幅角小θ，即izzeθ−′=，由此得cossinxxyθθ′=+，sincosyxyθθ′=−+。8．设复数1z，2z，3z满足13213123zzzzzzzz−−=−−。证明：213213zzzzzz−=−=−。如图，2131iAABzzezzAC∠−=−，1323iCACzzezzBC∠−=−。所以ABACACBC=，AC∠=∠。由AC∠=∠可得ABBC=，代入ABACACBC=可得ABBCAC==，即213213zzzzzz−=−=−。9．（1）给出123,,zzz三点共线的充要条件；（2）给出1234,,,zzzz四点共圆的充要条件。（1）若三点共线，则矢量13zz−与矢量23zz−平行，反之也成立。所以三点共线的充要条件是1323zzzz−=−实数。（2）如图若四点共圆，则有ACBADB∠=∠（同弧所对圆周角相等）。反之也成立。写成复数形式即为13142324zzzzzzzz−−=−−实数。10．求下列方程的根，并在复平面上画出它们的位置。（1）210z+=；（2）380z+=；（3）410z−=；（4）410z+=；（5）210nz+=，n为正整数；（6）22cos10zzλ++=，0λπ。（1）zi=±；（2）32,2izeπ±=−；（3）1,zi=±±；（4）344,iizeeππ±±=；（5）()22iknzeππ+=，0,1,,21kn=−；（6）izeλ±=−。11．设zpiq=+是实系数方程20120nnaazazaz++++=的根，证明zpiq=−也是此方程的根。对方程两边取共轭得20120nnaazazaz++++=，即z也满足此方程。12．证明：()41sincos44cos238ϕϕϕ=−+。()()()4242222431414iiiiiiiiiieeeeeeeeeeϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ−−−+=−+−=−−−()()22sin28sin2cos2sin2sin28cossinsiniiieieiiiiϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=−=+−+()48sinsin44sin2iϕϕϕ=+−取等式两边实部即得证。13．把sinnϕ和cosnϕ用sinϕ和cosϕ表示出来。()()0!cossincossincossin!!knnnkkknininiknkϕϕϕϕϕϕ−=+=+=−∑()()()[]/2220!1cossin2!2!nknkkknknkϕϕ−==−−∑()()()()1/221210!1cossin21!21!nknkkkniknkϕϕ−⎡⎤⎣⎦−−+=+−+−−∑比较两边实部和虚部得：()()()[]/2220!cos1cossin2!2!nknkkknnknkϕϕϕ−==−−∑；()()()()1/221210!sin1cossin21!21!nknkkknnknkϕϕϕ−⎡⎤⎣⎦−−+==−+−−∑。14．将下列和式表示成有限形式：（1）1cosnkkϕ=∑；（2）1sinnkkϕ=∑。222121222sin121sin2nnniiininniikiiiiiikneeeeeeeeeeeeϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ−+−=⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠===−⎛⎞−⎜⎟⎝⎠∑比较两边实部和虚部得：()11sincos22cossin2nknnkϕϕϕϕ=+=∑，()11sinsin22sinsin2nknnkϕϕϕϕ=+=∑。15．证明：()112sinsinsin2nnnnnnπππ−−⋅⋅⋅=。记1211,,,,nzzz−为方程1nz=的n个根，即2kinkzeπ=，1,2,,1kn=−。则有()()()()12111nnzzzzzzzz−−=−−−−，所以()()()12121111nnnnzzzzzzzzzzz−−−−−−−==++++−。令上式两边1z=，则有2111kninkenπ−=⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠∏。2212sin2sinkkkkkkiiiiiiinnnnnnkkeeeeieeennπππππππππ−−⎛⎞−=−−=−=⎜⎟⎝⎠，111211121111112sin2sinnknkknnniiinnnnkkkkkeennnπππππ−=−−−−−+−−===∑⎛⎞−===⎜⎟⎝⎠∏∏∏，即111sin2nnkknnπ−−==∏。16．求下列序列{}na的聚点和极限，如果是实数序列，则同时求出上下极限。（1）()121nnnan=−+；（2）()1121nnan=−+；（3）()()121nnanni=+−+；（4）()211nnanni=++−；（5）1sin6ninanπ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠；（6）11cos23nnanπ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠。（1）聚点±1/2，极限无，上极限1/2，下极限-1/2；（2）聚点0，极限0，上下极限0；（3）聚点∞，极限∞；（4）聚点∞，极限∞；（5）聚点0，±1/2，±3/2，±1，极限无；（6）聚点±1/2，±1，极限无，上极限1，下极限-1。17．证明序列1111ln23nann=+++−极限存在。先证()ln11xxxx≤+≤+，其中0x≥。令()()ln1fxxx=+−，则()11011xfxxx′=−=−≤++，所以()()00fxf≤=，不等式右半部分得证，同样可证左半部分。由此可得111ln11nnn⎛⎞+⎜⎟+⎝⎠。111ln101nnaann+⎛⎞−=−+⎜⎟+⎝⎠，即na是递减序列。由11ln1nn⎛⎞+⎜⎟⎝⎠得()111ln11ln1ln1ln1ln23nann⎛⎞⎛⎞⎛⎞++++++++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠3411ln2lnln1023nnnn+⎛⎞⎛⎞=⋅⋅⋅⋅−=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠即na是递减有下界序列，所以极限存在。18．证明Lagrange恒等式：2222111nnnkkkkkjjkkkkkjzwzwzwzw===⎛⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑。右边()()22,kjkjjkkjjkkjkjzwzwzwzwzw=−−−∑∑222222,kjkjjkkjkjjkkkkjkjkjkjkjzwzwzwzzwwzzww