数理结合-五种方法求解斜面上抛体最远距离

数理结合，五种方法求解斜面上抛体最远距离题：从倾角为θ的斜面上O点，以初速度V0水平抛出一个小球，落至斜面B点。求：从抛出开始经多长时间小球离斜面的距离最大？最大距离是多大？解法一：设小球抛出t秒后，当速度方向与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大，此时小球速度方向与初速度方向成θ角。根据“平抛运动任意时刻末速度的反向延长线经过水平位移的中点”。设图中M点为末速度反向延长线与水平位移的交点，线段MN的长即为所求的最远距离H。解：当末速度方向与斜面平行时，物体离斜面距离最大0,tanyyvvgtv可得：0tanvtg因为平抛运动中任意时刻末速度的反向延长线经过水平位移的中点。所以2xOM由几何关系可知最远距离：200sintansin=sinsin222vtvxHMNOMg解法二：利用斜抛思想求解，将物体初速度v0、重力加速度g都分解成沿着斜面和垂直斜面方向的两个分量。在垂直斜面方向上，物体做的是以v0y为初速度、gy为加速度的类竖直上抛运动。物体上升到顶端的时间等于它从抛出至离斜面最远的运动时间。可得:00sintant=cosoyyvvvggg物体在垂直于斜面方向“上升”的最大高度20000sintantansin=222yvtvvvHgg解法三：以抛出点O为坐标原点，建立图示水平竖直坐标系斜面直线方程为()tanhxx抛体轨迹方程为22220011()222xghgtgxvv（下同）抛物线上某点00(,)pxh的导函数为该点处的切线斜率，当切线与斜面平行时，该点距斜面最远20'()22ghxxvOAV0VxVyggygxθV0ONHMVtAθ0020'()2tan2ghxxv200tanvxg42220000220tantan()22vvghhxvgg所以离斜面tan0xh距离最远的点为22200tantan(,)2vvpgg利用点到直线距离公式可得：22200202tantantan2tansin21tanvvggvHg解法四：设抛物线上某点00(,)pxh距斜面最远，其切线与斜面平行20'()22ghxxv0020=h'()22gkxxv切200tanvxg可得：000tanxvtvg42220000220tantan()22vvghhxvgg抛物线上点00(,)pxh的切线方程为：00)hhkxx切（22200tantantan()2vvhxggHOhAθxV0p(x0,h0)HOhAθxV0p(x0,h0)222200tantantan2vvhxgg可得切线方程：220tantan02vxhg与斜面tan0xh的距离为：220202tan2tansin21tanvgvHg解析五：抛物线上任意一点00(,)pxh到直线tan0xh的距离为：200200022tantan21tan1tangxxxhvH2422000222002tantan()221tanvvggxvgvgH200tanvxg当时，000tanxvtvg点00(,)pxh到直线tan0xh的最大距离为：220202tantansin2=21tanvvgHg以上解法，各有所长，解法一、二突出了物理过程的理解与应用，其余解法展示了学生扎实的数学基本功，体现了数学知识在物理学习上的应用，起到了相辅相成的作用。HOhAθxV0p(x0,h0)