华南师范大学考研数学分析试题汇总

2000年华南师范大学数学分析一、填空题（3*10=30分）1.设_______lim_______,lim,,2,1,4sin)1(nnnnnnaanna则；2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(,,,)(xxfRxxxxxxf3._____;1lim10dxxxnn4._________;)cos(sinlim10xxxx5.方程)(032为实常数ccxx在区间[0,1]中至多有_________个根；6._______;__________),1()(1122nnnnIInnaxdxI的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cossin0dutfdttfyxuyx是可微函数，则8.),(yxf设在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin2x10.曲线20,sin,cos33ttaytax的弧长s=___________________.二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(limxfx存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222yzyfzyx所确定，其中f是可微函数，试证：xzyzxyxzzyx22)(222.四、（12分）求极限：)22211(lim222nnnnnnnn.五、（12分）已知a,b为实数，且1ab,证明不等式：abbalnln)1(1）（.六、(12分)计算曲面积分：.32dxdyzdzdxyxdydzIS其中S是球面1222zyx的外侧.七、(10分)设0)(xun,在[a,b]上连续，n=1,2,…,1)(nnxu在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：1)(nnxu在[a,b]上一致收敛于f(x).2003年华南师范大学数学分析一、(12分)求极限).)12)(12(1531311(limnnn二、(12分)设.,11,11:),(2dxdyxyyxyxDD求积分三、(12分)证明1331nxnnx在[a,b]上一致收敛(其中，0ab+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=1331nxnnx在(0,+∞)上连续.四、(12分)求第二型曲线积分dyxdxyL333132，其中，12:22yxL，取逆时针方向。五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果)(limxfax和)(limxfx都存在(有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。六、(15分)设dxyxfa),(关于],[dcy一致收敛，而且，对于每个固定的],[dcy，f(x,y)关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当x时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于],[dcy一致地收敛于0.2004年华南师范大学数学分析1.(12分)设,,2,1,)11(nnann证明数列na严格单调增加且收敛。2.(12分)求函数0,00,1sin)(2xxxxxf的导函数，并讨论导函数的连续性。3.(12分)求幂级数nnnnxn)21(])1(2[1的收敛半径和收敛域。4.(12分)求函数xxxf0,00,1)(的Fourier级数，并由此求数列级数：121)1(51311nn的和。5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0ab)，f(a)≠f(b)，证明：存在),(ba，，使得ababfflnln))(()(。6.(15分))(0MBr是以),,(0000zyxM为心，r为半径的球，)(0MBr是以M0为心，r为半径的球面，f(x,y,z)在R3上连续，证明：dSzyxfdxdydzzyxfdrdMBMBrr)()(00),,(),,(2005年华南师范大学数学分析一、计算题（4*8=32分）1.求xxxx30sincos)cos(sinlim.2.求dxx3sec.3.求2222)0,0(),(limyxyxyx.4.求Lyxydxxdy224.其中10,)1(222RRyxL：,取逆时针方向。二、证明题（3*9=27分）1.证明：对)(21,,2babaeeeRba；2.设0limnna，证明：0lim21naaann；3.设f(x)在(0,1)上连续，)(lim)(lim10xfxfxx，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.三、讨论题（2*8=16分）1.讨论级数31213121312131)2(1)12(161514131211nn的敛散性。2.设0,0，讨论dxxx0sin的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。2006年华南师范大学数学分析1.(15分)假设)(lim30xfx存在，试证明：)(lim)(lim300xfxfxx.2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。3.(15分)假设),2,1)((nxun在[a,b]上连续，级数1)(nnxu在(a,b)上一致收敛，试证明：（i）1)(nnau,1)(nnbu收敛；(ii)1)(nnxu在[a,b]上一致收敛。4.(15分)假设)0(0)0(),(2222222yxyxyxyxyxf,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导数存在，但此点不可微。5.(15分)计算曲面积分dxdyzdzdxydydzxIs222，其中s为锥面)0(222hzzyx所示部分，方向为外侧。2007年华南师范大学数学分析1.(15分)证明数列nn2收敛，并求其极限.2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x).(1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明0)0(f；(2).(10分)只假定)0(f存在，证明0)0(f.3.(15分)求积分：,2,1,0,sin20ndxxn.4.(15分)判别函数列),(,1)(22xxnxxfn的一致收敛性.5.(15分)设1222zyx，求xz和22xz.6.(15分)利用202dxex和分部积分法求dxexax)1(1202，其中a0.7.(20分)设L是平面区域的边界曲线，L光滑。u(x,y)在上二阶连续可微，用格林公式证明：dsnudxdyyuxuL)(2222.其中n是L上的单位外法向量，nu是u沿n方向的方向导数.8.(20分)设f(x)的导函数)(xf在[0,1]上连续，且)0(f0，证明瑕积分)1(,)0()(10pdxxfxfp.当1p2时收敛，p2时发散.9.(20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何]1,0[x，有.0)(limnxfn证明：.0)(limxfx2008年华南师范大学数学分析一.(15分)设.0lim,10,lim,01nnnnnnuaauuu证明二.(15分)设RS为有界集，证明必存在数列.suplim,SxSxnnn使三.(15分)设为无理数为有理数xxxxxxf,,)(2(1)证明若0x，则f在x处不连续；(2)计算)0(f.四.(15分)设n为自然数，求不定积分xdxxInncos的递推公式，并计算xdxxcos3.五.(20分)(1)设]23,0[,2sin2)(1xxnxxsnnn，证明).1(),1()(lim1ssxsx并求(2)证明函数项级数xxnncos)cos1(1在x=0的邻域U(0)内不一致收敛.六.(15分)求函数)arctan(xyz在位于圆)23,21(0222上一点xyx处沿这圆周切线方向的方向导数（切线倾斜角0的范围是）。七.(15分)设有n个实数012)1(3,,,12121naaaaaannn满足，证明方程)2,0(0)12cos(3coscos21在区间xnaxaxan中至少有一个根。八.(20分)设dxxf)(收敛，证明函数),()cos()()(在dxxxfg上一致连续。九.(20分)设222),(ryxyxD，L是D的边界曲线，L取逆时针方向为正向。n是L的外法线方向上的单位向量，F（P(x,y),Q(x,y)）是定义在D上的连续可微向量函数，计算极限：dsnFrLr201lim.2009年华南师范大学数学分析一、(20分).)]()([lim.,,)(lim,)(limxgxfRAaAxgxfaxaxax语言证明用这里设二、(15分)设数列nx无上界。试证明存在nx的子列knx满足knkxlim。三、(20分)设RkxxxkxxFxxf，这里0,10,)(,1)(2,求函数G(x)=f(x)-F(x)的导数，并判别函数G的单调性。四、(20分)求下列函数的偏导数或全微分：1、zxuxyuz2,)(求；2、设函数f有一阶连续偏导数，求由方程f(x-y,y-z,z-x)=0所确定的函数z=z(x,y)的全微分。五、(15分)求圆锥面内的那一部分面积。在圆柱体xyxyxz22222六、(20分)计算曲线积分)0,(,2222aALdyyxyxdxyxyxIL是从点其中经过上半椭圆0,0)0,()0(12222baaybyax的弧段，这里到点。七、(20分)设正项级数..,11nkknnnnaSMaa令发散求证：1).发散收敛；11111).3).2;1nnnnnnnannnSaSaaxdxSa。八、(20分)设是区间I上定义的函数族。若)()(,,,0,0212121xfxffxxIxx都有时，对所有且当，则称函数族在区间I上等度连续。设函数列)(xfn各项在[a,b]上连续，且)(xfn在[a,b]上一致收敛于函数f(x),证明：函数列)(xfn在[a,b]上等度连续。2010年华南师范大学数学分析1.已知xxyn1，求对y进行n阶求导得到的公式。2.已知)0()1(pnnnpn，求p取不同值的敛散性。3.已知dttfdttfxxxf10202)(2)()(，求f(x)的值。4.在na数列中，存在M0时，Maaan21，证明na收敛。5.已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，g(x)在[a,+∞)上一致连续，)]()([limxgxfx存在，证明f(x)在[a,+∞)上一致连续。6.f(x)在(-∞,0)上有),1()(lim)(lim),()(03fxfxfxfxfxx且)0,(),1()(xfxf求证.7.f(x)、g(x)在[a,+∞)上可微，当,)()(xgxfax时，有.)()()()(agxgafxf