第74讲--几何证明与计算(K字型的妙用)

第二轮复习第74讲几何证明与计算（“K”字型的妙用）三角形和四边形作为初中几何的核心知识，是近几年重庆中考重点考查的内容，试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：全等三角形、特殊三角形和特殊四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相关知识，灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。学习目标：1.学会识别、构造“K”字型，积累作辅助线的数学经验2.经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力学习重点：会用“K”字型的性质解决问题学习难点：“K”字型的构造学习过程：一、温故知新观察下列基本图形，你能得出什么结论？（1）如图，已知：点B、C、D在同一直线上，AC⊥EC，AB⊥BD，ED⊥DB.追问1：这个图形有什么特征？追问2：若AC=CE，若AC≠CE，你有什么新的发现？（2）如图，已知：∠ABC=∠ACE=∠D，问：∠A、∠ECD有何关系？（3）“K”字型呈现形式：ABCDEABCDE二、自主练习：1．如图，等边△ABC的边长为9，BD=3，∠ADE=60度，则AE长为.2．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（）.A．45°B．50°C．60°D．不确定三、经典例题：例：如图，在ABC中，90ABC，过点C作AC的垂线CE，且CE=CA，连接AE、BE.（1）若3tan,23BACAE，求四边形ABCE的面积；（2）若EAEB，求证2ABBC.四、赢在中考：1．小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上（如图），已知∠2=35°，则∠1的度数为（）.A．55°B．35°C．45°D．125°2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=32，则点C的坐标为．3．正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E作EF⊥CE交AB于点F．若BF=2，BC=6，求FE的长.五、感悟数学：CMDAByOx六、课后作业：1．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2x的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=kx的图象上，且OA⊥OB，tanB=33，则k的值2.如图，在ABCRt中，90ABC，点B在x轴上，且01，B，A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线04＞mxmy经过A点，双曲线xmy经过C点，则m的值为（）A．12B．9C．6D．33．如图，矩形ABCD的顶点A、D在反比例函数6(0)yxx的图象上，顶点C、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且2ABBC，再在其右侧作正方形DEFG、FPQR（如图所示），顶点F、R在反比例函数6(0)yxx的图象上，顶点E、Q在x轴的正半轴上，则点R的坐标为．4．已知：在ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，点M为AE上一点，且ME=AB，AM=CE，连接CM并延长交AD于点F．（1）若点E是CD的中点，求证：△ABC是等腰三角形．（2）求证：∠AFM=3∠BCF．德中命制人：邓宏书审稿人：刘加勇“K”字型的妙用参考答案二、自主练习：1．72.【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有【专题】几何图形问题．【分析】过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．【解答】解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，∵E是BF的垂直平分线EM上的点，∴EF=EB，∵E是∠BCD角平分线上一点，∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，Rt△BHE和Rt△EIF中，，∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），∴∠HBE=∠IEF，∵∠HBE+∠HEB=90°，∴∠IEF+∠HEB=90°，∴∠BEF=90°，∵BE=EF，∴∠EBF=∠EFB=45°．故选：A．【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．三、经典例题：【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形．菁优网版权所有【分析】（1）易求得AC的长，即可求得BC，AC的长，根据四边形ABCE的面积=S△ABC+S△ACE即可解题；（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，易证∠BAC=∠ECF，即可证明△ABC≌△CFE，可得EF=BC，再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD，即可解题．【解答】解：（1）∵AC⊥CE，CE=CA，∴AC=CE=AE=，∵tan∠BAC=，∴∠BAC=30°，∴BC=AC=，∴AB=BC=，∴四边形ABCE的面积=S△ABC+S△ACE=AB•BC+AC•CE=××+××=+1；（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，则四边形BDEF为矩形，∴EF=BD，∵∠ACB+∠ECF=90°，∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠ECF，∵在△ABC和△CFE中，，∴△ABC≌△CFE，（AAS）∴EF=BC，∵△ABE中，AE=BE，ED⊥AB，∴AD=BD，∴AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC，即AB=2BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证△ABC≌△CFE是解题的关键．四、赢在中考：1.【考点】平行线的性质；余角和补角．菁优网版权所有【分析】根据∠ACB=90°，∠2=35°求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠1=∠3，代入即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠2=35°，∴∠3=180°﹣90°﹣35°=55°，∵a∥b，∴∠1=∠3=55°．故选A．【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出∠3的度数和得出∠1=∠3，题目比较典型，难度适中．2.【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，MP⊥y轴，根据正方形的性质可以得出MB=MA，可证明△AMP≌△BMF，就可以得出PM=MF，就可以证明四边形OFMP是正方形，由勾股定理就可以求出OF的值，再由△AOBP≌△BECF，从而得出C点的纵坐标．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，∴∠MFO=∠CEO=∠AOB==∠APM=90°，∴四边形POFM是矩形，∴∠PMF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠AMB=90°，AM=BM，∴∠OAB=∠EBC，∠AMP=∠BMF，∴△AMP≌△BMF（AAS），∴PM=FM，PA=BF，∴四边形POFM是正方形，∴OP=OF=2OM=3，∵A（0，2），∴OA=2，∴AP=BF=3-2=1，∴OB=3+1=4，∵在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OB=CE=4，AO=BE=2．∴OE=4+2=6，∴C（6，4）．故答案为：（6，4）．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线等分线段定理的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时求证四边形POFM是正方形是关键．3.【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有【分析】连接CF，由正方形的性质得出∠B=90°，再由EF⊥CE，证得△MEF≌△NCE，得出△CEF为等腰直角三角形，求得EF==CF，再由勾股定理求得CF即可．【解答】解：连接CF,过点E作MN∥AD，交边AB于点M，边CD于点N.如图所示：∵四边形ABCD为正方形，可得四边形AMND为矩形，P∴MN=AD=CD∵∠DNE=90°，∠BDC=45°，∴DN=EN∴ME=CN∵EF⊥CE，∴∠CEF=90°，∴∠MEF=∠ECN且∠FME=∠ENC=90°∴△MEF≌△NCE（ASA），∴EF=CE∴△CEF为等腰直角三角形，∴EF==CF，由勾股定理得：CF===2，∴EF=×2=2，故答案为：2．【点评】本题考查了正方形性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．六、课后作业：1.【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得，根据tanB==，可得，根据待定系数法，可得答案．【解答】解：作AD⊥x轴于点D，作BC⊥x轴于点C，设A点坐标是（x，y），∴∠C=∠D=90°．∵∠AOB=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠D=∠C，∴△OAD∽△BOC，．∵tanB==，∴，y=AD=OC，x=OD=BC，∵第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，∴xy=OC×BC=2，∴k=OC•BC=2×3=﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，待定系数法求函数解析式．2.【考点】反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，由A点的横坐标是2，且在双曲线y=4mx上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐标，列方程求解．【解答】解：过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，∵A点的横坐标是2，且在双曲线y=4mx上，∴A（2，2m），∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠CBF=∠ABC+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠FCB，∴△ABE∽△BCF，∴===3，∴CF=1，BF=23m，∴C（﹣1﹣23m，1），∵双曲线y=mx经过C点，∴﹣1﹣23m=﹣m，∴m=3，故选D．【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形．3.【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有【专题】综合题．【分析】过D作DM⊥x轴，FN⊥x轴，RI⊥FN，RH⊥x轴，由ABCD为矩形，利用对称性得三角形OBC为等腰直角三角形，继而得到三角形CDM为等腰直角三角形，即两三角形相似，且相似比为1：2，设OB=OC=a，则有CM=DM=2a，表示出D坐标，代入反比例解析式求出a的值，确定出D坐标，得出DM与OM长，利用AAS得到三角形DME与三角形EFN全等，利用全等三角形对应边相等得到ME=FN，DM=EN，设F纵坐标为b，代入反比例解析式得到横坐标为，由OM+ME+EN表示出ON，即为横坐标，列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出F坐标，得到ON，FN的长，同理得到三角形RFI与三角形RQH全等，设R纵坐标为c，由ON+NH表示出横坐标，将R坐标代入反比例解析式求出c的值，即可确定出R坐标．【解答】解：过D作DM⊥x轴，FN⊥x轴，RI⊥FN，RH⊥x轴，∵ABCD为矩形，A与D在反比例图象上，且AB=2BC，∴∠BCD=90°，∠OBC=∠OCB=45°，∴∠MCD=∠MDC=45°，∴△BOC∽△CMD，且相似比为1：2，设OC=OB=a，则CM=DM=2a，OM=OC+CM=a+2a=3a，∴D（3a，2a），将D坐标代入反比例y=中得：6a2=6，即a2=1，解得：a=1（负值舍去），∴DM=2，OM=3，∵DEFG为正方形，∴DE=EF，∠DEF=90°，∴∠MDE+∠MED=90°，∠MED+∠NEF=90°，∴∠MDE=∠NEF，在△DME和△ENF中，，∴△DME≌△ENF（AAS），∴DM=EN=2，FN=ME，设F（，b），则FN=ME=b，ON=OM+ME+EN=3+b+2，可得5+b=，即b2+5b﹣6=0，即（b+6）（b﹣1）=0，解得：b=1或b=﹣6（舍去），∴F（6，1），即ON=6，FN=