反比例函数图象的平移研究

反比例函数图象的平移研究于都三中蔡家禄（13970717628）函数图象的平移，一般是将图象沿x轴或y轴平移。（一）我们先从简单的直线型图象（一次函数的图象）平移说起。例如：求将直线y=2x-3分别向上、向右平移2个单位所得直线的解析式。1、将直线y=2x-3向上平移2个单位，从数量变化的角度思考：相当于在x的值不变时，y的值增加了2（也可认为是2x-3的值增加了2），所以解析式就由y=2x-3变为y=(2x-3)+2=2x-1.（另外，求平移后的直线的解析式我们还可以用待定系数法来求：先在直线y=2x-3上任取两个点，如A（0，-3）、B（2，1），这条直线向上平移2个单位后，点A、B的坐标也相应地变为A’（0，-1）、B’（2，3），这样过点A’和B’的直线就是平移后所得的直线了，用待定系数法不难求出其解析式为y=2x-1.)解析式y=(2x-3)+2也可以变为y-2=2x-3，由这个式子的变形我们猜想：直线向上平移m个单位，是否只要将原解析式中y换成y-m，而其它的不变？直线向下平移m个单位，只要将原解析式中y换成y+m，其它的不变？我们举些例子，通过验证发现这个结论是正解的。于是我们得到直线沿y轴向上或向下平移m个单位，其解析式的变化规律：直线沿y轴向上平移m个单位，解析式将由y=kx+b变为y-m=kx+b；直线沿y轴向下平移m个单位，解析式将由y=kx+b变为y+m=kx+b.（简称：下加，上减）2、将直线y=2x-3向右平移2个单位，即x的值增大2，y的值保持不变。受直线上下平移规律的启发，我们猜想：是否只要将原解析式的x用（x-2）换掉即可？即“将直线y=2x-3向右平移2个单位所得直线的解析式为y=2(x-2)-3吗？”我们用待定系数法计算一下，求出的结果果然与我们的猜想是一样的，y=2(x-2)-3=2x-7.换些其它的数字试试，可得到同样的结论。于是我们得到直线沿x轴向左或向右平移n个单位，其解析式的变化规律：直线沿x轴向左平移n个单位，解析式将由y=kx+b变为y=k（x+n)+b；直线沿x轴向右平移n个单位，解析式将由y=kx+b变为y=（x-n)+b.（简称：左加，右减）然而不解的是：图象沿y轴向上平移m个单位“x的值不变，y的值增加m”,理应y加m,可事实却是y减m；图象沿y轴向下平移m个单位“x的值不变，y的值减小m”,理应y减m,可事实y却要加上m，恰好相反。这种数与形的不一致，增加了我们理解的难度，是巧合？还是上帝的作弄？难道数学也讲相生相克，阴阳平衡。（二）我们能否将直线的平移规律应用于双曲线的平移呢？我们以xy2为例来探讨。3、求将双曲线xy2沿y轴向上平移3个单位后的解析式。我们套用上面的规律，猜想所求解析式为：xy23，即32xy.(把点的坐标代入验证是正确的，见下图）4、求将双曲线xy2沿x轴向左平移3个单位后的解析式。将原解析式的x用（x+3）换掉就得到32xy，见下图由3、4我们发现：直线的平移规律，同样适合于双曲线。事实上，它还适用于二次函数图象抛物线的平移。（三）我们根据图象平移规律反过来思考，就可以得出画复杂函数的图象的方法了。例1：画出243xxy的图象。我们先将解析式化成“一个整数加一个分式”的形式，得2103210)2(3xxxy.由前面的平移规律可知：我们先画出双曲线xy10，再将它沿x轴向右平移2个单位，得到210xy，再沿y轴向上平移3个单位即可得到243xxy的图象。（当然也可以先向上平移3个单位，再向右平移2个单位.)(见下图)从上图可以看出243xxy的图象也是双曲线，只不过它可以与两数轴有交点，但它不会与直线x=2相交，也不会与直线y=3相交。注：画243xxy的图象，尤其平移双曲线，还不如平移数轴更方便。我们先画出xy10的图象，再把x轴向下平移3个单位（这相当于双曲线沿y轴向上平移了3个单位），y轴向左平移2个单位（这相当于双曲线沿x轴向右平移了2个单位）就得到了243xxy的图象。这不就体现“运动是相对的”道理嘛？对于x的系数不为1时，我们也可适当的变形，使之变为系数为1的式子来解决，例如：要画3223xxy的图象，我们先将解析式化为“整数+分式（分式的分子一定要为常数）”的形式234132323413)23(23231232)32(2)23(xxxxxxxy.这样我们就可以先画出xy413的图象，再将其沿x轴向左平移23个单位，得到23413xy，又沿y轴向上平移23个单位即可得到3223xxy的图象。