微积分及经济学应用

1第3章微积分及其经济学应用3.1一元函数和多元函数在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对任意给定的x值，仅存在一个y值与其对应，则称y是x的函数，表示为)(xfy。其中x为自变量，y为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。x能够取得的所有值的集合称为函数定义域，y能够取得的所有值的集合称为函数值域。在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为P，需求量为DQ，供给量为SQ。那么，需求与价格的函数关系可以表示为：)(PfQD，)(PgQS。然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此，采用一元函数来分析经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用),,,(21nxxxfy的形式来表示，它表示因变量y的值取决于n个自变量nxxx,,,21的大小。例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为),,,(21nxxxfU，其中U表示消费者的效用，nxxx,,,21是对n种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样，生产函数常表示为),(KLfy，y为产出水平，K表示资本，L表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。Q=A*L^alpha*K^beltaA=1;alpha=0.5;belta=0.5;20246810051015051015资本柯布道格拉斯生产函数劳动力产值3.2水平曲线二元函数),(yxfz的水平曲线定义为：Cyxf),(，C为常数，它表示曲面上z值为常数C的点),(yx连接而成的曲线。对于三元函数),,(zyxfM，称Czyxf),,(为水平曲面，它表示M值为常数C的点),,(zyx连接而成的曲面。水平曲线在经济学中有重要的应用，如生产函数为),(KLfy，其中y为产出，L为劳动力，K为资金，如下图所示第一象限中的点表示正的劳动投入和资金投入的所有可能组合，且每一个点对应一个y值，所有对应5y的点（L，K）连接起来就是一条曲线，这条曲线就是一条水平曲线，经济学家将这条水平曲线称为等产量曲线，实际上这条曲线是用5y平面截曲面),(KLfy所得曲线在KL平面的投影。自然这条曲线上所有点对应的y值为5，如下图中，点A、B、C、D对应的y值皆为5，因此将这条水平线也称为等值线、等高线，E点则代表产出为10的等产量曲线，F点则代表产出为15的3等产量曲线，可见越向右上方向的等产量曲线的产出值越大。KLO------ABCDEF5y10y15y生产函数的水平曲线在消费理论中，假设消费者只消费两种商品，那么它的效用取决于这两种商品消费量的组合。如果用U表示效用，21,xx分别表示这两种商品的消费量，那么它的效用函数就是二元函数，可以表示为),(21xxUU。平面直角坐标系第一象限中的点表示出两种商品消费量的所有可能组合，平面上的每一点对应),(21xxU曲面上的一个值。如果将对应0U的点连起来就表示在效用水平为0U的情况下的一条水平曲线。经济学上将这条水平曲线称为无差异曲线或等效用曲线。3.3极限1.极限的定义数列极限的定义：在数列na中，任取0，如果存在N，使得当Nn时，Aan，则称当n趋于无穷大时，A为na的极限。表示为：Aannlim或者Aan)(n。在数列na中，na与n一一对应，因此可以将na视为定义域为正整数n的函数)(nfan。因此对数列极限的定义进行推广，就可以得到函数)(xf当x和0xx4极限的定义。函数极限的定义当x时函数极限的定义：任取0，存在X，使得当Xx时，Axf)(，那么常数A为当x时)(xf的极限，记为Axfx)(lim或者Axf)()(x。当0xx时函数极限的定义：任取0，存在0，使得当00xx时，Axf)(，那么常数A为当0xx时)(xf的极限，记为Axfxx)(lim0或者Axf)()(0xx。2.左极限与右极限当x从0x的左侧（即小于0x的方向）趋向于0x（记为0xx），若此时)(xf有极限A，则称A为当0xx时的左极限。记为Axfxx)(lim0或者Axf)()(0xx。当x从0x的右侧（即大于0x的方向）趋向于0x（记为0xx），若此时)(xf有极限A，则称A为当0xx时的右极限。记为Axfxx)(lim0或者Axf)()(0xx。3.极限的运算法则定理：如果Axfxx)(lim0，Bxgxx)(lim0，且A，B有限则(1)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)]()([lim000(2)ABxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)]()([lim000(3))(lim)(lim00xfcxcfxxxx(4)nxxnxxxfxf)](lim[)]([lim004.两个重要的极限(1)1sinlim0xxx，(2)exxx)11(lim3.4连续复利连续复利的计算，是函数极限在经济学的经典应用。假设一个人将a元存入银行，银5行年利率为r，若利息按复利计息，每年计算一次，则年底时他的存款总额为)1(ra。如果银行改为半年计算一次利息，年利率不变，则半年的利率为2r，则年底时，他的存款总额应为2)21(ra元。当银行每年计息n次，可以推得，年底时存款总额应为nnra)1(元。当银行在年内连续计息时，即n时，年底存款总额为nnnra)1(lim元。对其求极限可以得到：rrrnnrrnnnnaenranranra])1(lim[])1[(lim)1(lim因此，在连续计息的情况下，年底时这个人的存款的余额为rae元。我们可以将其推广到存款多年的情况，在连续计息时，第二年年底的存款余额为rrraeeae2元，则可以得出t年末的存款余额为trae元。因此，连续复利时，本金为a元，年利率为r，则t年末的资金余额为：traeFV元。同样可以得到，t年末的资金a元，在连续复利的情况下，贴现值为：traePV。3.5一元函数的导数1.一元函数导数的定义：设)(xfy为定义在集合D上的一元函数，Dx0，则函数在0x点处的导数定义为：00)()(lim00xxxfxfdxdyxxxx或xxfxxfxfx)()(lim)(0000'2.导数的四则运算法则：设函数)(xf和)(xg都在x点可导，则这两个函数的和、差、积、商均在x点可导。(1))()]([''xcfxcf(c为常数)；(2))()()]()(['''xgxfxgxf；6(3))()()()()]()(['''xgxfxgxfxgxf；(4))()()()()(])()([2'''xgxgxfxgxfxgxf，]0)([xg3．复合函数的导数——链式法则设函数))(()(xgfxh是和)(xgu的复合函数，且函数)(xgu在x点处可导，)(ufy在u点处可导，则有)())(())](([)(''''xgxgfxgfxh或dxdududydxdy（链式法则）3.6二元函数求偏导3.6.1二元函数的一阶偏导数二元函数的偏导数的定义为：设函数),(yxfz在点),(00yx的一个邻域有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx的对x的偏导数，记作),(00yxxz，),(00yxxf，),(00yxzx或),(00yxfx类似地，函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数定义为yyxfyyxfy),(),(lim00000记作),(00yxyz，),(00yxyf，),(00yxzy或),(00yxfy如果函数),(yxfz在定义域D内每一点),(yx对x的偏导数都存在，那么这个偏导数是x、y的函数，它就称为对x的偏导数函数。记作xz，xz，),(yxfx类似地，可以定义对自变量y的偏导数函数，yz，yz，),(yxfy7在),(yxfz求偏导数时，实际上和一元函数求导方法相同，求xf时，只要把y看作常量而对x求导数；求yf时，只要把x看作常量而对y求导数。3.6.2二元函数高阶偏导数设函数),(yxfz在定义域D内具有偏导数),(yxfx，),(yxfy，那么在D内),(yxfx，),(yxfy都是x、y的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数),(yxfz的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：),(22yxfxzxzxxx，),(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx，),(22yxfyzyzyyy类似地，可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数，二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，在二阶偏导数计算中引出一个重要定理：杨格定理如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2，yxz2在区域D内连续，那么自该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。杨格定理说明在求导时不必关心求导的顺序。3.7多元函数的求导二元函数偏导数的概念可以推广到多元的情况，定义为：xxxxxfxxxxxfxxxffninixn),,,,,(),,,,,(lim),,,()(2121021x多元偏导数的计算并不需要引入新的方法。因为在函数中仅有一个自变量在变化，其他各个自变量都是固定的，所以，在计算时只需要将其他自变量看作常量，对变动的自变量运用一元函数求导法则计算即可。二元函数的杨格定理也可以直接推广到多元函数8如果n元函数),,,(21nxxxf对于ix的一阶偏导数函数是连续的，则有ijjixxfxxf)()(22xx对于多元函数的求导有一个重要的向量和矩阵，称为梯度向量和海赛（Hessian）矩阵定义n元函数),,,()(21nxxxffx对于ix的一阶偏导数构成的n维列向量称为梯度向量，记为)(xf，即)()()(1xxxnfff，其中iixff)()(xxn元函数),,,()(21nxxxffx的所有二阶偏导数组成的矩阵称为)(xf的海赛（Hessian）矩阵，记为)(xH：即)()()()()()()(1221111xxxxxxxnnnnnffffffH其中jiijxxff)()(xx2，根据杨格定理，jiijff，故)(xH为对称矩阵。3.8隐函数3.8.1定义我们将方程0),,,,(21nxxxyF确定的函数关系，称为隐函数，既对于任意一组变量),,,(21nxxxX，相应地总有满足方程0),,,,(21nxxxyF的唯一的y值存在，那么就称方程0),,,,(21nxxxyF确定了一个隐函数1。1隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，因此按照函数“设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，9把隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如将方程0),,,,(21nxxxyF解出),,,(21nxxxFy，就把隐函数化成显函数。要注意的是方程0),(yxF能确定隐函数，一般并不都能从方程中解出y，并用自变量x的算式来表示。对于方程.0sin21yxy可以证明确实存在一个定义在),(上的函数)(xf，使得,0)(sin21)(xfx