8.3极坐标系下的二重积分

8.3极坐标系下的二重积分P(r,)r=r()··oorr)r·Pr)r=r()cossinxryryx如:r=ar=2cosr=2sin·有些二重积分用直角坐标计算比较繁琐，甚至无法计算，如例6。22xyDIed2214xyDIed22(,)14Dxyxyx2+y2=1x2+y2=4xyD1D[注记]：⑴对于一个二重积分，当：①积分区域D的边界曲线用极坐标方程表示比较容易；②被积函数用极坐标变量r、来表达比较简单这时，用极坐标计算会带来方便。⑵因为直角坐标与极坐标之间有关系：所以极坐标系下二重积分的表达式为(,)(cos,sin)DfxydfrrrdrdcossinxryrAoDiirriirrriiiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(,iiirr.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf●在极坐标系下计算二重积分，同样是化为二次积分来计算，同样有选择积分次序和确定积分限的问题。但积分次序多以先对r后对的次序，而确定积分限可分为三种情形：于是得到在极坐标下二重积分化为二次积分的公式：21()(),[cos,sin]Dfxydfrrrdrd12()(),rAOD2()r1()r1若积分区域D：21()(),cos,sinDfxyddfrrrdr或写作AO1()r2()rD2若极点在D的内部020(),r2()00,(cos,sin)Dfxyddfrrrdr则D可以用不等式表示:D()r这时有AO()rr2()0(),(cos,sin)rDfxyddfrrrdr若D由两条封闭曲线围成（如图），则3若极点O在D的边界上，且D由射线=、=和连续曲线r=r()围成。即这时例如(,)0(),Drrr()0,(cos,sin)rDfxyddfrrrdr·or22r=r()ror=r(),Dfxyd把化为极坐标下的二次积分，.41:22yxD其中xyO121D4D2D3D,Dfxyd计算例：20,21:rD1r22=1xy2r22=4xy2201,(cos,sin)Dfxyddfrrrdr直角坐标极坐标22=1xy22=4xy1r2r解利用把积分区域的边界曲2,,:112,01DfxydDxyxx将，化为极坐标下例的二次积分.cossinxryr1,r线化为极坐标形式：xy121xy1sincosr圆：直线：xy1121xyxy1解1:1,0sincos2Dr于是1r1sincosryx111210sincos,cos,sinDfxyddfrrrdr2:11,01Dxyxx，例3计算，其中D是以22xyDedxdy解D可以表示成0,02ra222xyrDDedxdyerdrd原点为圆心，半径为a的圆域.2200arderdr2201(1)2aed22001[]2raed2(1)ae用极坐标22224sin,Dxydxy计算例:12,2Dr212sinrdrdrr原积分2122:14,0,0.Dxyxy其中212sindrdr221dxyO解例5计算其中D为2224Daxydxdy，222(0)xyaxy解2cosraxOyDa2a02cos2ra，0所以D可表示为2cosra圆的方程：和x轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义.表示成极坐标形式：222xyax于是，利用极坐标得：2222244DDaxydxdyarrdrd＝2cos222004adarrdr＝33208(1sin)3ad＝:02cos2Dra，0382323a＝（－）•几何意义2224zaxy，22,yaxxxOzxOy面及面圆柱面所围成的立体的体积。2224Daxydxdy，yOxz2aD2224zaxy顶：是球面当积分区域为(部分)圆、扇形或扇面等,22yx常用极坐标计算.形状时，函数含有cossinxryr直角坐标与极坐标的关系：用极坐标计算二重积分时，常常需要将用直角坐标表示的区域化为极坐标的表示.注意0,02r小结