三重积分计算法

第三节三重积分的计算法一、利用直角坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分(,,)fxyzdv其中是空间有界闭区域.可以用直角坐标、柱面坐标和球面坐标来计算.计算方法是将三重积分化为三次积分.三重积分(,,)GfPdgfxyzdv一、利用直角坐标计算三重积分dvdxdydz(,,)(,,)fxyzdvfxyzdxdydz即用平行于坐标面的平面族：常数常数，常数，zyx去分割积分区域,除边界外每个小块都是一个长方形，于是得到体积元素12,,,zzxyzzxy设如图,将向xoy面投影，得,以的边界为准线母线平行于z轴的柱面把分为下上两个边界：xyDxyD(,)xyxyD1z2z1()yyx2()yyxab1S2S1(,)zzxy2(,)zzxy12,,,,,xyxyDzzxyzxy从变到yzxO12:,,,,xyzxyzzxyxyD于是21(,)(,)(,,)[(,,)]xyzxyzxyDfxyzdvfxyzdzdxdy则12:,,,,xyzxyzzxyxyD积分区域可表示为(先一后二）根据D是X型域或Y型域确定二重积分的积分限，就得到三重积分公式.2211()(,)()(,)(,,)(,,)bxzxyaxzxyfxyzdvdxdyfxyzdz若D为X型域，则有这是先对z，次对y，最后对x的三次积分21(,)(,)(,,)[(,,)]xyzxyzxyDfxyzdvfxyzdzdxdyxdv例1计算,其中为三个坐标面及平面x＋2y＋z＝1所围成的区域。xyzO(0,0,1)C1(0,,0)2B(1,0,0)AxyD:012,,xyzxyxyD:012,,xyzxyxyD解在xoy面上的投影为xyD若看成X型域，则xyD12xy12zxy,xy123011(2)448xxxdx10:012,:201xyxyzxyDx120xyDxdvdxdyxdz11122000xxydxdyxdz11200(12)xxdxxydy例2将化为直角坐标系下的三次积分，其中是由平面x＋y＋z＝1，x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。(,,)fxyzdv的下底是x＋y＋z＝1，上底是z＝1，x0y1xyxyD1解的投影是x+y=1，x=0，y=0围成的三角形域，xyD11(,,)(,,)xyxyDfxyzdvdxdyfxyzdz111001(,,)xxydxdyfxyzdz01:11,:01xyyxxyzDxx0y1xyxyD12）截面法（先二后一）21(,)(,)(,,)[(,,)]zxyzxyDfxyzdvfxyzdzdxdy1）投影法（先一后二）计算三重积分时，先求一个二重积分，再求一个定积分的方法设区域的z值的最大值过内任一点z，作水平平面与交出截面就是二重积分的积分区域.ZD，12,cc和最小值为和，1c2cxyzOzDz1c2c先在上对x,y积分然后在上对z积分.12,cczD2）截面法（先二后一）12:,,ZxyDczc这样得到21(,,)(,,)zccDfxyzdvdzfxyzdxdy先求出上的二重积分再求定积分.ZD12:,,ZxyDczc先二后一此法常用于上的二重积分易求的情形zD例3计算，其中是由椭球面所围成的空间闭区域。2222221xyzabc2zdxdydzczc222222:1-zxyzDczcabc（)解z的最小值和最大值为和，即ccabcxyzO0DzDcz222zzccccDDzdxdydzdzzdxdyzdzdxdy的面积为zzDdxdyD22222211(1)zzzababccc2222(1)cczzdxdydzzabdzc42324()15cczabzdzabc二用柱面坐标计算三重积分zOxy(,)Pz在xoy面上就是极坐标.,设M（x,y,z）为空间一点，如果将x，y，z改用另外三个数来表示，则称为点M的柱面坐标。z,,,,z（）(,,)Mxyz三组坐标面：柱面与直角坐标的关系是(,)PzOzxy(,,)Mzz＝常数（水平平面）＝常数（半平面）＝常数（圆柱面）(,,)Mxyz由图可知zzcosxsiny(0,02,)z),(yxP三组坐标面族去分割空间区域，其任一小块的体积可以近似看成以为底，为高的柱体体积。vdzdd体积元素dvdddz(,,)cos,sin,)fxyzdvzfzddd（dxyzodzdd(,,)(cos,sin,)fxyzdvfzdddz21(,)(,)(,,)(cos,sin,)Dfxyzdvddfzdz因此12:,,,,xyzxyzzxyxyD设则积分区域在柱面坐标系下的表示为：12:,,,,zD在柱面坐标系下区域由直角变为柱面坐标表示则三重积分化为柱面坐标的三次积分：若12:,D2211(,)(,)(,,)(cos,sin,)fxyzdvddfzdz21(,)(,)(,,)(cos,sin,)Dfxyzdvddfzdz例4计算其中是由上半球面和旋转抛物面,zdv2224xyz(0)z223xyz所围成的区域.解将积分区域向xoy面投影，得22:3xyDxy22034-,:,302zD：2222224,3:3xyxyzxyDxy：xyD223xyz224zxy23z柱面坐标24zzxyOzdvzdddz224-,03,023z：4232001(4)29dd46230[2]45422234003ddzdz134例5计算其中是由曲面与平面围成的区域.,zdxdydz22zxy4z解在xoy面上的投影区域为圆域:22:4xyDxy02,022zxzy22zxyD4z2:4,02,02z所以24Dzdxdydzddzdz222400ddzdz222001(16)2dd22201642[8]2632:4,02,02z22()Ixydv例6计算其中222,0,00xyzxyzaa由锥面和所围成第一卦限部分.解采用柱面坐标xDyzaza222zyx,z:,,,zaD0,02a2200aadddz30()2aad45[]245aaa5.40a:,0,0,2zaa22()Ixydv问题2220xyzzaa由锥面和所围成.若例6中的积分区域改为则22()?xydv答由对称性，有2222()4()Ixydvxydvyza思考题在柱面坐标系下求三重积分可以看作在直角坐标系对作单积分，然后在投影区域上用极坐标作二重积分呢？zxyD答：可以三、用球面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间一点，如果将x,y,z改用另外三个数r，，来表示,则称(r，，)为点M的球面坐标。xyzPxOyzMr常数（球面族）r常数（圆锥族）常数（半平面）(0,0,02)r球面坐标与直角坐标的关系是sincossinsincosxryrzrxOyzxyzrAPMsinOPr(0,0,02)r分割空间区域，其任一小块的体积v可以近似地看成是长为、宽为、高为的长方体体积rdsinrddrdrxyzodrdsinrrdddsinr2sinvdvrdrdd积分元素drrdsinrddrrdsinrd2sindvrdrdd体积元素2(,,)(,,s)infxyzdvFrrdrdd其中(,,)(sincos,sincos,cos)Frfrrr一般将右端的形式化为先对r、次对、最后对的三次积分来计算。三重积分在球面坐标系下的形式：一般地，空间区域包含原点在其内部，边界曲面为则有,,rr(2)2000,,,(,,)sinrfxyzdvddFrrdr例如当为球面时2222xyza22000(,,)sinaddFrrdr(,,)fxyzdvra球面方程：例7求半径为的球面与半顶角为的内接圆锥面所围成的立体的体积(如图).aOxyz2arM解根据积分性质：的度量，GdgGVdv有将用球面坐标表示成不等式：02cos,002raOxyz2arM2sinVdvrdrdd22cos2000sinaddrdr323008sincos3add344(1cos)3a22cos2000sinaddrdr思考题：球面方程柱面球面2222xyza222zara柱面方程222xybsinrbb直角坐标系1.填写下表中的空格：2.计算重积分应怎样选择合适的坐标系？应考虑哪两个方面？哪个方面更重要些？（1）积分区域（2）被积函数积分区域边界的表达式简单，便于定限被积函数的表达式简单，便于积分相对而言，便于积分更重要一些.小结1.柱面坐标系下两种坐标系下三重积分的计算由柱面与直角坐标的关系cossin(0,02,)xyzzz有(,,)(cos,sin,)fxyzdvzfdzdd体积元素2211(,)(,)(,,)(cos,sin,)fxyzdvddfzdz若12:,,D则222:xyDxyR且被积函数含有常用极坐标22,yxyx且被积函数含有常用极坐标22,yxyx的侧面由圆柱面或222:xyDxyR且被积函数含有常用柱坐标2.球面坐标由球面坐标与直角坐标的关系：sincos0sinsin,0cos02xrryrzr2(,,)(,,s)infxyzdvFrrdrdd三重积分在球面坐标系下的形式：体积元素其中(,,)(sincos,sincos,cos)Frfrrr