§2.4 卷积积分的性质

第1页■§2.4卷积积分的性质•卷积代数运算•与冲激函数或阶跃函数的卷积•微分积分性质•卷积的时移特性•相关函数卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。第2页■▲一、卷积代数运算1．交换律2．分配律3．结合律)()()()(1221tftftftf)()()()()]()([)(3121321tftftftftftftf)]()([)()()()(2121tftftftftftf系统并联运算系统级联运算证明第3页■证明交换律tftf21d)()(21tffd)()(12tff，令tdd::，则•卷积结果与交换两函数的次序无关。•一般选比较简单函数进行反转和平移。tftf21tftf12第4页■▲二、与冲激函数或阶跃函数的卷积1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)证：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)证：)('d)()(')(*)('tftftftf(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)tftfd)(d)()(ε(t)*ε(t)=tε(t)第5页■▲三、卷积的微积分性质1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.]d)([*)()(*]d)([d)](*)([212121tttftftffff证：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)例1例2第6页■卷积性质例1)()(thtf例1：f1(t)如图,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t))()e1()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf1(t)t201解：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ(t)–δ(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)注意：当f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0显然是错误的。第7页■▲四、卷积的时移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)例求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。第8页■卷积性质例3)()(thtf例：f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t)t11-1f1(t)t102f2(t)0解：f1(t)=2ε(t)–2ε(t–1)f2(t)=ε(t+1)–ε(t–1)f1(t)*f2(t)=2ε(t)*ε(t+1)–2ε(t)*ε(t–1)–2ε(t–1)*ε(t+1)+2ε(t–1)*ε(t–1)由于ε(t)*ε(t)=tε(t)据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε(t+1)-2(t–1)ε(t–1)–2tε(t)+2(t–2)ε(t–2)第9页■▲五、相关函数相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转。•相关函数的定义•相关与卷积的关系•相关函数的图解第10页■▲1.定义ttftfttftfRd)()(d)()()(212112实能量有限函数f1(t)和f2(t)的互相关函数ttftfttftfRd)()(d)()()(212121互相关是表示两个不同函数的相似性参数。可证明，R12(τ)=R21(–τ)。若f1(t)=f2(t)=f(t)，则得自相关函数ttftfttftfRd)()(d)()()(显然，R(-τ)=R(τ)偶函数。注第11页■▲2.相关与卷积的关系xtxfxftRd)()()(2112R12(t)=f1(t)*f2(–t)R21(t)=f1(–t)*f2(t)。xxtfxftftfd)()()(*)(2121可见，若f1(t)和f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。第12页■▲3.相关函数的图解(0t12)Of1(τ)f2(τ)Oττ2221Of2(-τ)f2(τ)Oττ2222Of1(τ)τ212f2(t1-τ)Of1(τ)τ21f2(τ-t1)t1t1-2t1t1+2f1(τ)f2(t1-τ)tOt1t1O2τf1(τ)f2(τ-t1)t2t1f1(t)*f2(t)O-2O2t1R12(t)4阴影部分面积阴影部分面积(a)卷积(b)相关22τ-2第13页■实功率有限信号相关函数的定义f1(t)与f2(t)是功率有限信号相关函数：222112d)()(1lim)(TTTttftfTR221221d)()(1lim)(TTTttftfTR自相关函数：22d)()(1lim)(TTTttftfTR例第14页■▲的自相关函数。求周期余弦信号tEtf1cos解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有12221212221111122211222cos2dcoscoslimdsinsincoscoscoslimdcoscoslimd1limEttTEttttTEtttTEttftfTRTTTTTTTTTTTT第15页■▲此例结论1.周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同。2.自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。3.余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。第16页■系统级联)]()([)()()()(2121ththtfththtf)()(thtf)()(21ththth系统级联，框图表示：)(tf)(1th)(2th)(ty)()(1thtf)()()(21ththtf)(ty)(tf)(th结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。第17页■系统并联ththth21系统并联，框图表示：)(ty)(tf)(th)(ty)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th∑)()(1thtf)()(2thtf)()()()()()(21thtfthtfthtf结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。