齐次微分方程

1第二讲一阶微分方程【教学内容】齐次微分方程、一阶线性微分方程【教学目的】理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。【教学重点与难点】齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法【教学过程】一、齐次微分方程：形如()dyyfdxx的微分方程；叫做齐次微分方程对它进行求解时，只要作变换yux原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。于是有,dyduyuxuxdxdx，从而原方程可化为()duuxfudx，即()dufuudxx此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量u还原为yx，所得函数就是原方程的通解。例1、求微分方程22()2xydxxydy，满足初始条件10xy的特解。解：方程可化为2221()22()ydyxyxydxxyx它是齐次方程。令yux，代入整理后，有212duudxxu分离变量，则有2112ududxux两边积分，得22111()ln(1)()ln()ln222uxc即2(1)1cxu将yux代入上式，于是所求方程的通解为222()cxyx把初始条件10xy代入上式，求出1c，故所求方程的特解为22yxx二、一阶线性微分方程形如()()yPxyQx的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)都是连续函数。当Q(x)=0时，方程()0yPxy称为一阶线性齐次微分方程；当Q(x)≠0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。1.一阶线性齐次微分方程的解法将方程()0yPxy分离变量得()dyPxdxy两边积分得ln()lnyPxdxC方程的通解为()PxdxyCe(C为任意常数)例2、求微分方程20yxy的通解。解法1（分离变量法）3所给方程是一阶线性齐次方程变量分离得2dyxdxy两边积分得2ln1yxC即21xCye令1CCe方程的通解为2xyCe解法2（公式法）将P(x)=2x代入通解公式，得通解2()2PxdxxdxxyCeCeCe2.一阶线性非齐次微分方程的解法非齐次方程与齐次方程的差异仅是方程右边的项Q(x)。从齐次方程的通解()PxdxyCe的结构及导数运算的规律,我们有理由推测非齐次方程的解形如()()PxdxyCxe(C(x)是关于x的函数）代入非齐次方程，得()()()PxdxCxQxedxC一阶非齐次线性方程通解的公式为：()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC或()()()()PxdxPxdxPxdxyCeeQxedx齐次方程非齐次方程的通解的特解()()()()PxdxPxdxPxdxyCeeQxedx齐次方程非齐次方程的通解的特解上述求解方法称为常数变易法.4用常数变易法求一阶非齐次线性方程通解的步骤为：（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；（2）利用常数变易法设出非齐次线性方程的一个特解；（3）将所设特解代入非齐次线性方程，解出C(x)，写出非齐次线性方程的通解.例3、求微分方程2xyye的通解.解法1（常数变易法）原方程变形为:1122xyye对应的齐次方程为：102yy得通解为11()22dxxPxdxyCeCeCe设原方程的解为12()xyCxe从而11122()()2xxyCxeCxe代入原方程得111111222()()()222xxxxCxeCxeCxee化简得1()2xCxe两边积分，得2()xCxeC5所以，原方程的通解122()xxxyCxeCee解法2（用公式法）11(),()22xPxQxe把它们代入公式得11()1222dxdxxyeeedxC122()2xxxeeedxC22()xxeeC例4、已知曲线过点（0，0），且该曲线上任意点p（x，y）处的切线的斜率为该点的横坐标与纵坐标之和，求此曲线方程。解法1（采用常数变易法求解）设所求的曲线方程为y=y（x），由导数的几何意义有yxy即yyx初始条件为下(0)0y由0yy分离变量并积分，得xyce令()xyuxe，则()()xxyuxeuxe，把y，y代入方程中，于是有()xuxxe两端积分后，得6()(1)xuxxec（c为任意常数）将上式代入()xyuxe，从而方程的通解为(1)xycex再把初始条件(0)0y代入上式，解出c=1，因此方程的特解为1xyex这就是所求的曲线方程。解法2（采用公式法求解）原方程中的()1px，()qxx，把它们代入公式得(1)(1)()dxdxyexedxc()xxexedxc()xxxexeec1xxce把(0)0y代入上式得1c，于是所求的曲线方程为1xyex