多元微积分知识点总结

一、多元函数的微分学二元函数的定义设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x与y的二元函数。记作：z=f(x,y).其中x与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域。关于二元函数的定义域的问题我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域。如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：例题：求的定义域.解答：该函数的定义域为：x≥,y≥0.二元函数的几何表示把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函数值z；当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。二元函数的极限及其连续性在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A，那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。这种极限通常称为二重极限。下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足的一切(x,y)都使不等式成立，那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：二重极限的运算法则如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B.那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；(2)：f(x,y).g(x,y)→A.B；(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：二元函数的连续性如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。关于二元函数间断的问题二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。例题：求下面函数的间断线解答：x=0与y=0都是函数的间断线。偏导数在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的变化率。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率。偏导数的定义设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△xz=f(x0+△x)-f(x0,y0).如果△xz与△x之比当△x→0时的极限存在，那末此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。记作：f'x(x0,y0)或关于对x的偏导数的问题函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限存在，那末此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.记作f'y(x0,y0)或偏导数的求法当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，那末称函数f(x,y)在域D可导。此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。例题：求z=x2siny的偏导数解答：把y看作常量对x求导数，得把x看作常量对y求导数，得注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。例题：求的偏导数。解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。把y和z看成常量对x求导，得.把x和z看成常量对y求导，得.把x和y看成常量对z求导，得.高阶偏导数如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：fxx，fxy，fyx，fyy.注意：fxy与fyx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当fxy与fyx都连续时，求导的结果于求导的先后次序无关。例题：求函数的二阶偏导数.解答：，，全微分我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。这里我们以二元函数为例。全微分的定义函数z=f(x,y)的两个偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)分别与自变量的增量△x,△y乘积之和f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y若该表达式与函数的全增量△z之差，当ρ→0时，是ρ()的高阶无穷小，那末该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。记作：dz=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y注意：其中△z=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y+αρ，(α是当ρ→0时的无穷小)注意：在找函数相应的全增量时，为了使△z与偏导数发生关系，我们把由(x0,y0)变到(x0+△x,y0+△y)的过程分为两部：先由点(x0,y0)变到点(x0,y0+△y)，再变到点(x0+△x,y0+△y).其过程如下图所示：例题：求的全微分解答：由于，所以关于全微分的问题如果偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)连续，那末z=f(x,y)一定可微。多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的一阶偏导数解答：令由于而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。全导数由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代入上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。二元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。二元函数极值判定的方法设z=f(x,y)在(x0,y0)的某一邻域内有连续的二阶偏导数.如果，那末函数f(x,y)在(x0,y0)取得极值的条件如下表所示：△=B2-ACf(x0,y0)△＜0A＜0时取极大值A＞0时取极小值△＞0非极值△=0不定其中例题：求的极值。解答：设,则，..解方程组，得驻点(1,1),(0,0).对于驻点(1,1)有,故B2-AC=(-3)2-6.6=-27＜0，A=6＞0因此，在点(1,1)取得极小值f(1,1)=-1.对于驻点(0,0)有,故B2-AC=(-3)2-0.0=9＞0因此，在点(0,0)不取得极值.多元函数的最大、最小值问题我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下：a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；b)：求出驻点；c)：结合实际意义判定最大、最小值.例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。解答：a)：先建立函数关系,确定定义域求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方最小的问题.但是P点位于所给的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系:,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞b)：求驻点解得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知z=-1c)：结合实际意义判定最大、最小值由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1).从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数，在约束条件3x+4y-z=26下的最小值.一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。二、多元函数的积分学二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。上述就是二重积分的几何意义。如果被积函数f(x,y)在积分区域(