定积分的经济应用举例

第四节定积分的经济应用举例一、总量函数在某个范围内的改变量二、举例第六章一、总量函数在某个范围内的改变量问题：已知某边际经济量，求该总经济量.1.已知某产品的总产量x(t)的变化率为),(d)(dtfttx=则该产品在时间[a,b]内的产量为∫=battfxd)().()()(axbxtxba−==2.已知某产品的总成本C(x)的边际成本为,d)(d)(xxCxMC=则该产品从生产产量为a到产量为b增加的成本为∫=bxxMCd)(aC).()()(aCbCxCba−==3.已知某产品的总收益R(x)的边际收益为,d)(d)(xxRxMR=则该产品的销售量从a个单位上升到b个单位时，增加的收益为∫=baRxxMRd)().()()(aRbRxRba−==4.已知某产品的总利润P(x)的边际利润为,d)(d)(xxPxMP=∫=baPxxMPd)().()()(aPbPxPba−==则该产品的销售量从a个单位上升到b个单位时，增加的利润为二、举例例1已知某产品总产量的变化率为),/(231240)(2天件tttf−+=求从第2天到第10天生产产品的总量.解所求的总产量为ttfxd)(102∫=tttd)231240(1022∫−+=10232]21640[ttt−+=)(400件=(1)求当该产品的生产从225个单位上升到400个单位时增加的收益.例2某产品的边际收益为解，)20(75xMR−=(1)增加的收益为∫=400225dxMRRxxd)20(75400225∫−=40022523322075⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=xx.31250=(2)从利润最大时再生产一百台，总利润增加多少？总利润的增加量为百台时，百台增加到从54==xx∫=54d)(xxMPP∫′=54d)(xxP∫−=54d)4(xx5422)4(x−−=)(5.0万元−=即从利润最大时的产量又多生产100台，总利润减少了0.5万元.解例3某产品的总成本C(x)(单位：万元)的边际成本为MC(x)=1(单位：万元/百台)，总收益R(x)(单位：万元)的边际收益MR(x)=5x(单位：万元),其中x为产量，固定成本为1万元，问：(1)产量等于多少时总利润P(x)最大；(2)从利润最大时再生产一百台，总利润增加多少？解(1)依题设，有总成本函数：1d)()(0+=∫xCxxMxC1d)()(0+=∫xCxxMxC1d0+=∫xx1+=x总收益函数：∫=xRxxMxR0d)()(∫−=xxx0d)5(.252xx−=总利润函数：)()(xCxR−=.1242−−=xxP(x)124)(2−−=xxxP01)(−=′′xP而的极大值点，是唯一驻点)(4xPx=∴的最大值点，即从而是)(xP最大，其值为时，利润百台当)()(4xPx=xxP−=′4)(Q0=，得唯一驻点：4=x)(712444)4(2万元=−−×=P