求解微分方程

第七章微分方程§1微分方程的基本概念例一曲线通过点(1,2)，且曲线上任意点切线的斜率均等于切点横坐标的2倍，求这曲线的方程。例列车在平直线路上以20m/s的速度行驶，制动时列车获得加速度0.4m/s2。问开始制动到停止需多少时间？这段时间列车又走了多远？微分方程的定义定义含有未知函数的导数(或微分、偏导数)的函数方程叫做微分方程，未知函数是一元函数叫做常微分方程，未知函数是多元函数叫做偏微分方程；其中出现的未知函数的导数(或微分、偏导数)的最高阶数叫做该微分方程的阶。n阶微分方程的一般形式：,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy或,0))(,),(),(,()(xxxxFn(2)n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解称为它的通解；通解中确定了任意常数的解称为特解。微分方程的解0),,,,()(nyyyxF定义(1)对于微分方程设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上满足则称y(x)是方程在区间I上的一个解，其图形称为积分曲线。说明：(1)n阶微分方程的解中最多只能含有n个独立的任意常数。(2)微分方程的通解不一定包含它的全部解。如方程2)(410Cxyyy的通解不包含特解y0。(3)y(x0)=y0，y(x0)=y1，…称为初始条件(或初值)。带有初始条件的微分方程问题称为初值问题。微分方程解决实际问题的步骤(1)分析问题，建立微分方程并提出定解条件。(2)求微分方程的通解。(3)由定解条件定出任意常数，即求出特解。(4)讨论所得解的性质和意义。例证明xC1cosktC2sinkt是方程0222xkdtxd0,00ttdtdxAx的通解(k0),并求满足初始条件的特解求曲线所满足的微分方程.例.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为QPQxyox解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即02xyy点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,作业(P298)：3(2)，5(2)，6。§2可分离变量的微分方程一阶微分方程的一般形式：F(x,y,y’)0,或y’f(x,y),或写成对称形式：P(x,y)dxQ(x,y)dy。一个一阶微分方程称为可分离变量的微分方程，如果能把它写成形式g(y)dyf(x)dx。,)()())((dxxfdxxxg若G(y)、F(x)分别是g(y)、f(x)的原函数，得CxFyG)()(例求微分方程的通解。xydxdy2例解方程.1122xydxdy,MdtdM,dtMdM.,ln1tCeMCtM.)(0teMtM例已知铀的衰变速度与含量M成正比(比例系数)。若t0时铀的含量为M0，求时刻t时铀的含量M(t)。解由题设条件得微分方程由条件M(0)M0得CM0，所以tMM0铀的衰变规律例.解初值问题解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为0d)1(d2yxxyx1)0(y练习(P304)：1(1)(5)(7)(10)，2(2)，4，6。作业§3齐次方程在一阶微分方程y’f(x,y)中，如果f(x,y)可以化为(,)().yfxyx则该方程称为齐次方程。如何求解？例解方程.22dxdyxydxdyxy例.解微分方程.tanxyxyy例.解微分方程作业P309：1(1)(6)，2(3),3；§4一阶线性微分方程本节讨论一阶线性微分方程,)()(xQyxPdxdy(1)0)(yxPdxdy(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。Q(x)0时称为一阶非齐次线性微分方程，Q(x)0时称为一阶齐次线性微分方程。分离变量法,)(ln,)(1CdxxPydxxPydy,)(dxxPCeydxxP)(这里表示P(x)的任一原函数。(3)一阶齐次线性方程(2)的解法得方程(2)的通解注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。常数变易法，令()()().PxdxyxCxe一阶非齐次线性方程(1)的解法CdxexQeydxxPdxxP)()()(用常数变易法解非齐次方程的步骤：1.求出相应的齐次方程的通解；2.将通解中的任意常数C变为函数C(x)，然后代入非齐次方程求出C(x)。3.非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解与方程的任意一个特解之和。.)1(1225xxydxdy例解方程sin.'cosxyyxe求方例程的通解.2yyxx例求方程的通解习题(315)：1(3)(9)，2(5)，6，7(3)。作业§5可降阶的高阶微分方程三种可降阶的高阶微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程y(n)f(x)型积分一次,)(1)1(Cdxxfyn再积分一次,)(21)2(CxCdxxfdxyn共积分n次，便得到含n个任意常数的通解：——可逐次积分求得通解例求y’’’e2xcosx的通解。解,sin21)cos(22CxeCdxxeyxx22sin21CdxCxeyx322cos41CdxCCxxeyx2sin81132212CCCxCxCxex,cos4122CCxxexyf(x,y)型令yp，方程变为pf(x,p)，设其通解为p(x,C1)，——不显含y即y’(x,C1)，.),(21CdxCxy说明：对于方程y(n)f(x,y(n1))，可令y(n1)p而化为一阶微分方程pf(x,p)。例求微分方程(1x2)y2xy的通解及满足初始条件y(0)1,y’(0)3的特解。yx33x1。.yy例解方程.)(4813241CxCCxy这时仍令yp作为新未知函数，,dydppdxdydydpdxdpy1(,)dyyCdx),(pyfdydpp方程变为，设其通解为p(y,C1)，则yf(y,y)型——不显含x12.CxyCe.0)(2yyy例解方程例.解初值问题02yey,00xy10xyxey1习题(P323)：1(2)(6)(10)，2(2)(4)(5)，3作业§6高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1求弹簧振子的运动规律x(t)。xOx02222xkdtdxndtxd自由振动的微分方程pthxkdtdxndtxdsin2222强迫振动的微分方程,sin22022tLCEudtdudtudmCCC这就是串联电路的振荡方程，其中例2设由电阻R、电感L、电容C和电源EEmsint串联组成的电路中，电容C两极板间的电压为uC，则有.1,20LCLR二、函数的线性相关与线性无关,02211nnykykyk定义设y1,y2,…,yn是定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数k1,k2,…,kn，使在I上就称这n个函数在I上线性相关，否则称为线性无关。例如：1,cos2x,sin2x在()线性相关；1,x,x2在任何区间上线性无关。说明：1)线性相关其中至少有一个函数可由其它函数线性表出；2)y1,y2,…,yn线性无关若k1y1k2y2…knyn0,则k1k2…kn0。3)y1与y2线性相关常数。1221yyyy或n阶线性微分方程的一般形式：)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn二阶非齐次线性方程,)()()(xfyxQyxPy对应的齐次线性方程.0)()(yxQyxPyf(x)0齐次，f(x)0非齐次。证直接将yC1y1C2y2代入(2)得：定理如果y1,y2是齐次方程的两个解，那么221122112211)()(yCyCxQyCyCxPyCyC.0)()()()(22221111yxQyxPyCyxQyxPyCyC1y1C2y2也是解，其中C1,C2是任意常数。三、齐次线性方程解的结构定理设y1,y2是齐次方程(2)的两个线性无关的特解(称为(2)的一个基本解组)，则yC1y1C2y2(C1,C2是任意常数)是它的通解，且此通解含有全部解。例y1x,y2ex是齐次线性方程0)1(yyxyx.21xeCxCy的一个基本解组，故其通解是定理(解的叠加原理)设y1(x),y2(x)分别是方程,)()()(1xfyxQyxPy.)()()()(21xfxfyxQyxPy))(())(()(212121yyxQyyxPyy222111)()()()(yxQyxPyyxQyxPy.)()(21xfxf的解，则yy1(x)y2(x)是如下方程的解：证非齐次线性方程解的结构)()()(2xfyxQyxPy定理设y*(x)是非齐次方程(1)的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程(2)的通解，则yY(x)y*(x)是方程(1)的通解，且此通解含有全部解。证由定理3，yY(x)y*(x)C1y1C2y2y*(x)是(1)的解，又它含有两个独立的任意常数，故是通解。设y0(x)是(1)的任一解，则y0(x)y*(x)是齐次方程(2)的解，故存在常数C10与C20，使得y0(x)y*(x)C10y1C20y2,于是y0(x)C10y1C20y2y*(x)。例yx2是方程22)1(2xxyyxyx.221xeCxCyx的一个特解，故其通解是n阶线性微分方程上面关于二阶线性方程的结论可推广到n阶线性方程.)()()(][1)1(1)(yxayxayxayyLnnnn1.线性微分方程解的叠加原理：设y1(x),y2(x)分别是方程L[y]f1(x)与L[y]f2(x)的解，则yy1(x)y2(x)是方程L[y]f1(x)f2(x)的解。L[y]f(x),其中2.齐次线性方程解的结构：设y1,y2,…,yn是齐次线性方程L[y]0的n个线性无关的解(称为它的一个基本解组)，则yC1y1C2y2…Cnyn(C1,C2,…,Cn是任意常数)是它的通解，且此通解含有全部解。常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD例.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)解:故原方程通解为)()(221xeCxeCyxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为例已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,,,2321xxeyeyxy求此方程满足初3)0(,1)0(yy的特解.有三始条件非齐次线性方程解的结构：设y*(x)是非齐次方程L[y]f(x)的特解，Y(x)是对应的齐次方程L[y]0的通解，则yY(x)y*(x)是非齐次方程L[y]f(x)的通解，且此通解含有全部解。作业习题(P331)：1(3)(7)，3，4(1)§7常系数齐次线性微分方程一、特征方程与特征根二阶常系数齐次线性方程y’’py’qy0.定义称代数方程r2