习题07利用留数定理计算定积分

137．如果()sin,cosRθ[在]0,2θπ中有奇点，通过变换izeθ=，()sin,cosRθθ变为()2211,22zzfzRizz⎛⎞−+=⎜⎟⎝⎠，则()fz在单位圆周1z=上有奇点。设这些奇点kβ（）均为一阶奇点，证明：1,2,k=m()()()2011sin,cos2resreskmzkzfzfzRdzzπβθθθππ==⎧⎫⎧⎫=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑∫。其中()sin,cosRθθsin表示θ和cosθ的有理函数。证：如上图，是以原点为圆心，a为半径的上半圆，0ΓδΓ是以()0,a为圆心，δ为半径的圆被截断的圆外部分。是过点0ΓL0Γ()0,a的切线，Cδ和Cδ′是δΓ夹在0Γ和L之间的部分，δΓ的上半圆部分CCδδδδ′′Γ=Γ−−。参考第86题（习题04）的证明，设()()zafz−在δΓ上一致趋于，则对任意k0ε，存在δ′满足0δε′，使得当δδε′时有()()()()CCCfzdzfzdzikikfzdzikkkδδδϕϕϕϕ=−+≤−++∫∫∫εϕ。由上图可解出2arctan212aaδϕδ=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠，则22212122aaaaδδϕδδ′≤′⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（这是关于δ的单调增函数）。只要上面的δ′足够小就有22221111112222828212aaaaaaaaδδδδ1ϕεδ⎡⎤′′′′⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎢⎥′⎣⎦⎛⎞−⎜⎟⎝⎠，所以()()2211128Cfzdzkkaaδεϕϕεε⎛⎞+++⎜⎟⎝⎠∫，这就证明了。()0lim0Cfzdzδδ→=∫所以()()()()00limlimCCfzdzfzdzfzdzfzdzδδδδδδ′′ΓΓ→→⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫()()()0limlimzafzdzkiizafzδδππ′Γ→→===−⎡⎤⎣⎦∫。在单位圆上挖去奇点kβ，代之以以kβ为圆心，δ为半径，被单位圆截断的圆弧（），用表示单位圆剩下的部分。这样构成一个包围单位圆内奇点和kC1,2,km=0Ckβ（）的围线。则1,2,k=m012mCCCCC=++++()()()112res2reskmCzkzfzfzfzdzizzzβππ==⎧⎫⎧⎫=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑∫v又有()()()00001limlimlimkmCCCkfzfzfzdzdzdzizizizδδδ→→→==+∑∫∫∫vvv()()()201sin,coslimkmkzkzfzRdiizπββθθθπ→=−=+∑∫()()201sin,cosreskmkzfzRdzπβθθθπ==⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭∑∫所以有()()()2011sin,cos2resreskmzkzfzfzRdzzπβθθθππ==⎧⎫⎧⎫=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑∫。138．计算下列积分：（1）22012cosdxpxpπ−+∫，0p1；（2）202cosdxxπ+∫；（3）()220cosdxabxπ+∫，；（4）0ab220cosnxdxπ∫；（5）()20expiedπθθ∫；（6）201sindπθθ+∫；（7）()2021sindπθθ+∫；（8）()0cotxdxπα−∫，Im0α≠。（1）令()()22111111122fzzzpppzpzzp==−+⎛⎞−+−−⎜⎟⎝⎠，则()21res1fpp=−。原积分()222res1fppππ==−。（2）令()()()21121232322fzzzzzz==++−+++，则()1res233f−+=。原积分23π=。（3）令()()()22221211412zfzzb2zzzzzabz==−−⎛⎞++⎜⎟⎝⎠，其中211aazbb⎛⎞=−−−⎜⎟⎝⎠，221aazbb⎛⎞=−+−⎜⎟⎝⎠。211aaabbb⎛⎞−−−−−⎜⎟⎝⎠，所以11z，在单位圆外，222111aaaazbbbb⎛⎞⎛⎞=−+−=−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠1，在单位圆内。()()()()22223222reslimzzdafzzzfzdzab→⎡⎤=−=⎣⎦−，所以原积分()32222aabπ=−。（4）令()()()()222222221221012!1111222!2!knnnnnnnkznzfzzzzzzknk++=+⎛⎞+===⎜⎟−⎝⎠∑，()()()()22222002!1res0lim22!!2!knnnnzkndfzndzknk→=⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦∑()()()224122202!1122!!nnnnnzndazzzndzn=⎡⎤=+++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()()()2214222202!2!1002!22!!2nnnnnznnnbzbznnn+=⎡⎤=++++++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦!所以原积分()()()()()()()2222222!221222321222!21221nnnnnnnnnnnππ22−−−==−−⋅⋅()()()()()()()()()()()222222122232121233122222242222242nnnnnnnnnnnnππ−−−⋅−−⋅==−−−−()()21!22!!nnπ−=!。（5）令()1zfzz=e，则()res01f=，原积分2π=。（6）原积分20023cos23cosddππθϕθϕ==−−∫∫。令()()()2112132232232fzzzzzz==−+−−−+−，则()1res32222f−=。原积分2π=。（7）原积分()()22200423cos23cosddππθϕθϕ==−−∫∫。令()()()222128132232232zfzzzzzz==⎛⎞+−−−+−⎜⎟⎝⎠2，则()()232283res322lim82322zdzfdzz→−−==−−，原积分342π=。（8）令aibα=+，原积分()()()()()()220011ixaibixaibixaibixaibixaibixaibeeeidxieeeππ−−−−−−−−−−−−−−++==−−∫∫dx22222121biabiaieedeeθπθθ−−+=−∫（作代换()2xaθ−=），因为被积函数以2π为周期，所以原积分()22222011112121bibbibzieeezddeezezθπθθ=++==−−∫∫vz。记()()222bbzefzzze−−+=−，则()1res02f=−，()2res1bfe−=。若，原积分0b()()22res0resbiffeiππ−⎡⎤=⋅+=⎣⎦，若，原积分0b()2res0ifiππ=⋅=−。139．计算下列积分：（1）241xdxx∞−∞+∫；（2）()()2222dxxaxb∞−∞++0,0ab∫，；（3）221mnxdxx∞−∞+∫，均为正整数，且；（4）,mnnm()121ndxx∞+−∞+∫，n为正整数；（5）()22022xdxxa∞+∫，；（6）0a224dxxx∞−∞−+∫；（7）()()22212cos1xdxxxxθ∞−∞+−+∫，θ为实数，且sin0θ≠；（8）()21ch2dxxxπ∞−∞+∫。（1）令()()()()()2244434341iiiizzfzzzezezezeπππ−−==+−−−−π。()()41res142ifeiπ=−，()()341res142ifeiπ=−+。所以()()243441v.p.2resres12iixdxifefexππππ∞−∞⎡⎤=+⎣⎦+∫=。被积函数是偶函数，所以()()()()000011lim2lim22bbbbbfxdxfxdxfxdxfxdx∞−→∞→∞⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫()1v.p.2fxdx∞−∞=∫，即()0fxdx∞∫收敛，同样的，()0fxdx−∞∫也收敛，所以()fxdx∞−∞∫收敛，且等于24v.p.1xdxx∞−∞+∫。后面类似的讨论省略。（2）令()()()()()()()222211fzzaizaizbizbizazb==+−+−++，则()()22res2ifaiaab=−，()()22res2ifbibab=−−。原积分()()222v.p.dx2xaxb∞−∞=++∫()()()2resresifaifbiababππ=+=⎡⎤⎣⎦+。（3）令()221mnzfzz=+，它在上半平面的奇点是12ikneπ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠（0,1,2,1kn=−）。()112212222reslimlim21ikiknnmmiknnzezezzfenzπππ⎛⎞⎛⎞++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞21n−++⎜⎟⎝⎠→→⎡⎤==⎢⎥′⎢⎥⎣⎦+()()221221212ikmnimnnneenππ−+−+=原积分22v.p.1mnxdxx∞−∞=+∫()()11122122122002resnnikimnikmnnnnkkiifeeenπππππ⎛⎞−−+−+−+⎜⎟⎝⎠==⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()2212212221122212sin12imnimnnimnnieiemnnnienππππππ−+−+−+−==−−+−()21sin2mnnππ=+。（4）令()()()()112111nnfzziziz++==+−+1n+，则()()()()()()()()()()()()1212211222!2111111res!!2222!nnnnnzinnnnnfinniiziin++=⎡⎤−++−====⎢⎥+⎢⎥⎣⎦!!2!!n所以原积分()12v.p.1ndxx∞+−∞=+∫()()()21!!2res2!!nifinππ−==。（5）令()()()()2222222zzfzzaizaiza==+−+()，则()221lim4zaidzfaidzaizai→==+res。同第（1）小题的讨论，有原积分()()222211v.p.2res22xdxifaiaxa4ππ∞−∞==⋅+∫=。（后面类似讨论省略）（6）221124Oxxx⎛⎞=⎜−+⎝⎠⎟，所以2024dxxx∞−+∫收敛，0224dxxx−∞−+∫也收敛，所以224dxxx∞−∞−+∫收敛，可直接计算其主值。（（7）可同样讨论）。令()()()211241313fzzzzizi==−+−−−+，()1res1323fii+=，原积分3π=。（7）令()()()()()()()222212cos1iizzfzzzzzizizezeθθθ−==+−++−−−，()1res4cosfiθ=−，()()211res4cos4sin2sin1iiifeieθθθθθ−==+−，()()221res4cos4sin2sin1iiieifeieθθθθθθ−−−=−=++。若sin0θ，则ieθ在上半平面，原积分()()2resres2siniififeθππθ⎡⎤=+=⎣⎦，若sin0θ，则ieθ−在上半平面，原积分()()2resres2siniififeθππθ−⎡⎤=+=−⎣⎦，所以原积分2sinπθ=。（8）令()()211ch2fzzzπ=+，则zi=为二阶极点，()21zki=+（）为一阶极点。1,2,k=()()()()2222ch1sh222reslimlimchch22zizizzizdzifizzdzziziπππππ→→−+−==++()()()2222shsh1ch222lim2chchsh22zizzizzzzzizi22zzππππππππππ→⎛⎞−−+⎜⎟⎝⎠=+++()()()22shch222limchch222chsh22zizzzizzzzziziziziπππππππππ→⎛⎞−−+⎜⎟⎝⎠=+++−−()()()2222shch12222chshsh2222zizzzizzziziziππππππππππ=⎛⎞−−+⎜⎟⎝⎠==+++。()()()()()1212121res21lim211sh2kzkifkizikkzπππ−→+−+==⎡⎤⎣⎦++。（）1,2,k=取这样的积分路径：实轴上到，以原点为圆心，为半径