微积分(5)无穷大数列

1§1.12无穷大——数列极限概念的推广考察下面几个数列：（1）1，3，5，7，9，，21n，；（2）1，4，9，16，25，，2n，；（3）2，4，8，16，32，，(2)n，；（4）1，1，1，1，1，，(1)n，；（5）1，52，53，94，95，，12(1)nn，。根据收敛数列的定义，（1）、（2）、（3）、（4）都是发散的，只有（5）是收敛数列，因为当n无限增大时，（5）中对应的项12(1)nnan无限逼近于常数2。数列（1）、（2）、（3）、（4）虽然都不收敛，但是，数列（1）、（2）、（3）与（4）还是不一样，它们都有与收敛数列类似的变化趋势：（1）中的数列21nan的取值总是大于0，并且21nan与的距离越来越近；（2）中的数列2nan的取值总是小于0，并且2nan与的距离越来越近；（3）中的数列(2)nna的取值一会儿大于0，一会儿小于0，并且(2)nna与（）的距离越来越近。总之，当n无限增大时，这三个数列对应的项na都无限靠近正无穷大（或负无穷大）。问题：何为na无限靠近正无穷大？“na无限靠近正无穷大”是指：不论事先给定一个多大的正数，在n无限增2大的变化过程中，总有那么一个自然数，当数列的项数在那个自然数之后，该数列都大于那个事先给定的正数。下面以（1）中的数列21nan为例，来说明“当n无限增大时，数列对应的项na无限靠近正无穷大”。如果给定一个大正数，比如100，要使100na，即21100n，只要取50.5n即可。也就是说，从数列的第51项51a开始，之后的各项都满足100na；同样地，如果再给定一个更大的正数，比如10000，要使10000na，即2110000n，只要取5000.5n即可。也就是说，从数列的第5001项5001a开始，之后的各项都满足10000na。一般地，不论事先给定一个多大的正数，不妨记为A，要使naA，即21nA，只要n足够大（12An）即可。记12AN，于是，从数列的第1N项1Na开始，之后的各项都满足naA。由此可见，对于数列21nan，不论事先给定一个多大的正数A，在n无限增大的变化过程中，总存在那么一个自然数，当数列的项数在那个自然数之后，该数列总大于事先给定的大正数A。经过上述讨论，我们可以给出无穷大数列的定义：定义1：设{}na为一数列，如果对于任意给定的正数A（不论它有多大），总存在一个正整数N，使得当nN时，不等式naA恒成立，那么我们就说数列{}na趋向于，记作limnna或na（n）；定义2：设{}na为一数列，如果对于任意给定的正数A（不论它有多大），总存在一个正整数N，使得当nN时，不等式3naA恒成立，那么我们就说数列{}na趋向于，记作limnna或na（n）；定义3：设{}na为一数列，如果对于任意给定的正数A（不论它有多大），总存在一个正整数N，使得当nN时，不等式naA恒成立，那么我们就说数列{}na趋向于，或者说数列{}na为无穷大数列，记作limnna或na（n）。显然，定义1与定义2中的数列都是无穷大数列的特例。注：1.注意A的任意性。它刻画了na与（或、或）的接近程度。因为只有当A是任意大的正数，不等式naA（或naA、或naA）才能表示na与（或、或）无限接近的含义；2.定义中的正整数N是与任意给定的正数A有关的，有时候为了表示这层含义，也写成()NA。另外，N刻画了n充分大的程度；3.任意一个绝对值非常大的常数不能认为是无穷大（无穷大不是一个数），比如1000000，就不能大于任意给定的正数A（比如A取值满足1000000A），而无穷大，在n的变化过程中，能大于任意给定的正数A；4.无穷大数列的定义可用数学语言表示如下：{}na是无穷大0A，*N，当nN时，有naA。类似地，{}na不是无穷大00A，*N，0nN时，有00naA。4上面这段用数学符号来叙述无穷大定义的语言习惯上称为AN语言；5.对于无穷大数列{}na，按照数列极限的定义来说，它的极限是不存在的。但是，由于它与收敛数列有类似的变化趋势（都有确定的变化趋势），我们也常说“数列{}na的极限为无穷大”，即limnna，注意它与数列{}na无极限并不矛盾；6.无穷大数列的的几何意义：“数列{}na为无穷大”是指：不论给定的正数A有多大，数列{}na从某项之后的所有项都落入区间(,)(,)AA内。下面，我们举几个无穷大数列的例子：例1.已知23nan，求证：limnna。证明：0A，要使23nanA，只须23An，所以，取23AN，则当nN时，就有23nA，因此，可得limnna。例2.已知23nann，求证：limnna。证明：由于222334(4)nannnnnnnnn，取15N，当1nN时，有(4)nannn，（适当放大不等式）所以，对0A，要使523nannA，只须nA，所以，取1max,NNA，则当nN时，就有23nnA，因此，可得limnna。例3.已知(2)1nna，证明数列{}na是无穷大。证明：对0A，要使(2)121nnnaA，只须2log(1)nA，所以，取2log(1)NA，则当nN时，就有(2)1nA，因此，数列{}na是无穷大。根据无穷大数列的定义，我们可得如下简单的性质：性质1：数列{}na趋向于，则数列{}na趋向于。反之亦然。即limlimnnnnaa或nnaa（n）；由于“数列{}na是无穷大”是指：对0A，*N，当nN时，有naA；而“数列{}na无界”是指：对0A，*0n，有0naA。也即是说，对0A，“数列{}na是无穷大”要求不等式naA对于某项之后所有的项都得成立；而6“数列{}na无界”只要求不等式naA对于某项成立即可。于是，我们可得如下结论：性质2：若数列{}na是无穷大，则数列{}na无界；证明：因为数列{}na是无穷大，即limnna，根据无穷大的定义，可得：对0A，*N，当nN时，有naA，所以，对0A，只要取0nN，且*0n，当然有0naA成立。因此，数列{}na无界。根据原命题与逆否命题等价，可得推论：如果数列{}na有界，那么数列{}na一定不是无穷大。比如数列sinnan，显然它是有界的，所以它不是无穷大。思考：性质2的结论反过来是否成立？即：如果数列{}na无界，那么数列{}na是否一定是无穷大？事实上，上述命题不成立。即：如果数列{}na无界，那么数列{}na不一定是无穷大。比如数列0,211(1),24nnnkanknk（*k），显然它是无界的，但它不是无穷大。性质3：有限个正（负）无穷大之和还是正（负）无穷大，即：若数列()limknna（或()limknna），01,2,,kK（0K为有限正整数），则70()1limKknnna（或0()1limKknnna）；性质4：有限个正（负）无穷大之积还是正（负）无穷大，即：若数列()limknna（或()limknna），01,2,,kK（0K为有限正整数），则0()1limKknnna（或0()1limKknnna）；证明：我们只对性质3作出证明，性质4请大家自己完成。由于数列()limknna，01,2,,kK，根据正无穷大数列的定义，可得：对0A，*kN，当knN时，有()0knAaK。取012max,,,KNNNN，则当nN时，就有00()01100KKknnnAAaKAKK，因此，0()1limKknnna。注：上述两条性质对于“差”与“商”不再成立。比如，若2nan，nbn，显然有limnna，limnnb，但是，lim()2nnnab，lim1nnnab，即“na与nb的差”与“na与nb的商”都不是无穷大。性质5：无穷大数列的子列还是无穷大数列，即：若数列limnna（或或），则{}na的任意子列kna也有8limknna（或或）。注：证明方法与1.6节性质1的证明类似，这里就不在累赘。例5.已知limnna，求证：12limnnaaan。证明：由limnna，可得对0A，*1N，当1nN时，有naA，于是，当1nN时，有12naaan11121NNnaaaaann1nNMAnn，其中112NMaaa。取04A，*24MNA，当2nN时，有4MAn，即4MAn，所以，取12max,NNN，则当2nN时，总有1211424naaanNMAAAAnnn，即12limnnaaan。思考：例5的结论反过来是否成立？即：如果12limnnaaan，是9否有limnna？事实上，上述命题不成立。即：如果12limnnaaan，未必有limnna。比如数列0,211(1),22nnnkannnk（*k），当2nk时，1224212224naaakknnk（n），当21nk时，21224(22)(1)121214naaakkknnkkn（n），所以有12limnnaaan，但limnna不成立。注：上述结论对负无穷大同样成立。于是，我们可得性质6：若数列{}na是正（负）无穷大，则数列12naaan也是正（负）无穷大；反过来，若数列12naaan是正（负）无穷大，则数列{}na不一定是正（负）无穷大。问题：若把性质6中的“正（负）无穷大”改为“无穷大”，结论又会怎样？（提示：考察数列(1)nnan。）由于无穷大数列与收敛数列有类似的变化趋势，如果我们把limnna看成10是数列极限概念的推广，那么，夹逼原理和单调收敛原理可扩充如下：性质7（夹逼原理）：设有数列{}na和{}nb，它们满足如下条件：*N，当nN时，有nnab，则有（1）如果limnna，那么limnnb；（2）如果limnnb，那么limnna。证明：（1）由limnna，可得对0A，*1N，当1nN时，有naA，（1）又因为*N，当nN时，有nnab，（2）取01max,NNN，则当0nN时，（1）与（2）同时成立。于是可得：当0nN时，有nnbaA，所以当0nN时，有nbA，这就证明了limnnb；（2）与（1）的证明方法类似，这里就不再赘述了。性质8：单调数列必有极限（包括无穷大）。证明：先假设数列{}na是单调递增的，下面，我们按数列{}na是否有界来讨论：（1）若数列{}na有上界，根据之前学过的单调收敛原理，可得该数列必有极限；（2）若数列{}na无上界，则对0M，*0n，使得0naM。于是，取0Nn，当nN时，根据单调性，有0nnaaM。11因此，可得{}na是正无穷大，即limnna。同理可证数