第八章 重积分与曲面积分习题解答(详解)高等数学(下册) 主编：方明亮,郭正光高等教育出版社出版

习题8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布有面密度为(,)xyµµ=的电荷，且(,)xyµ在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q．解用一组曲线将D分成n个小闭区域iσ∆，其面积也记为(1,2,,)iinσ∆=.任取一点(,)iiiξησ∈∆,则iσ∆上分布的电量(,)iiiQµξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为01lim(,)(,)d,niiiiDQxyλµξησµσ→==∆=∑∫∫其中1max{iinλσ≤≤=∆的直径}．2.设111dDIxyσ=−−∫∫其中1{(,)|1,0,0}Dxyxyxy=+≤≥≥；又22221dDIxyσ=−−∫∫其中222{(,)1,0,0}Dxyxyxy=+≤≥≥．试利用二重积分的几何意义说明1I与2I之间的关系．解由二重积分的几何意义知，1I表示底为1D、顶为曲面1zxy=−−的曲顶柱体1Ω的体积；2I表示底为2D、顶为曲面221zxy=−−的曲顶柱体2Ω的体积．由于当0,1xy≤≤时，12()()SDSD且12DD⊂，位于1D上方的曲面221zxy=−−始终不低于曲面1zxy=−−．由此可知12II．3.利用二重积分定义证明：(1)d()DDσσσ=∫∫其中为的面积；(2)(,)d(,)d()DDkfxykfxykσσ=∫∫∫∫其中为常数；(3)12(,)d(,)d(,)d,DDDfxyfxyfxyσσσ=+∫∫∫∫∫∫其中12DDD=∪，1D、2D为两个无公共内点的闭区域.证(1)由于被积函数(,)1fxy≡，故由二重积分定义得00011dlim(,)limlim.nniiiiiiDfλλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑∫∫(2)0011(,)dlim(,)lim(,)(,)d.nniiiiiiiiDDkfxykfkfkfxyλλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑∫∫∫∫(3)因为函数(,)fxy在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D时，可以使1D和2D的公共边界永远是一条分割线。这样(,)fxy在12DD∪上的积分和就等于1D上的积分和加2D上的积分和，记为1212(,)(,)(,).iiiiiiiiiDDDDfffξησξησξησ∆=∆+∆∑∑∑∪令所有iσ∆的直径的最大值0λ→，上式两端同时取极限，即得1212(,)d(,)d(,)d.DDDDfxyfxyfxyσσσ=+∫∫∫∫∫∫∪4.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1)2()dDxyσ+∫∫与3()dDxyσ+∫∫，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线1xy+=所围成；(2)2()dDxyσ+∫∫与3()dDxyσ+∫∫，其中积分区域D是由圆周22(2)(1)2xy−+−=所围成；(3)ln()dDxyσ+∫∫与2[ln()]dDxyσ+∫∫，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)；(4)ln()dDxyσ+∫∫与2[ln()]dDxyσ+∫∫，其中{(,)35,01}Dxyxy=≤≤≤≤.解(1)在积分区域D上，01xy≤+≤，故有32()()xyxy+≤+，根据二重积分的性质４，可得32()d()d.DDxyxyσσ+≤+∫∫∫∫(2)由于积分区域D位于半平面{(,)|1}xyxy+≥内，故在D上有23()()xyxy+≤+．从而23()d()d.DDxyxyσσ+≤+∫∫∫∫(3)由于积分区域D位于条形区域{(,)|12}xyxy≤+≤内，故知D上的点满足0ln()1xy≤+≤，从而有2[ln()]ln()xyxy+≤+．因此2[ln()]dln()d.DDxyxyσσ+≤+∫∫∫∫(4)由于积分区域D位于半平面{(,)|e}xyxy+≥内，故在D上有ln()1xy+≥，从而有2[ln()]ln()xyxy+≥+．因此2[ln()]dln()d.DDxyxyσσ+≥+∫∫∫∫5.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)edxyDIσ+=∫∫其中{(,)01,01}Dxyxy=≤≤≤≤；(2)22(49)dDIxyσ=++∫∫其中22{(,)4}Dxyxy=+≤；(3)1dln(4)DIxyσ=++∫∫其中{(,)04,08}Dxyxy=≤≤≤≤；(4)4dDIxyσ=+∫∫其中{(,)|02,02}Dxyxy=≤≤≤≤.解(1)在积分区域D上，01x≤≤，01y≤≤，从而21xyee+≤≤，又D的面积等于1，因此21eI≤≤.(2)在积分区域D上，2204xy≤+≤，从而22229494()925,xyxy≤++≤++≤，又D的面积等于4π，因此2236π(49)d100π.Dxyσ≤++≤∫∫(3)在积分区域D上，04,08xy≤≤≤≤，从而2(4)21114lnln2lnxy++≤≤，又D的面积等于32，因此816ln2ln2I≤≤.(4)在积分区域D上，02,02xy≤≤≤≤，从而2422xy≤+≤，又D的面积等于4，因此882I≤≤.习题8-21.计算下列二重积分：(1)22()dDxyxσ+−∫∫，其中D是由直线,2,2yxyxy===所围成的闭区域；(2)1dDxyσ+∫∫，其中{(,)|01,12}Dxyxxy=≤≤≤+≤；(3)dxyDyeσ∫∫，其中D是由直线2,2,1xyxy===所围成的闭区域；（4）sin()dDxyσ+∫∫，其中D是由直线0,π,xyyx===所围成的闭区域．解(1)D可用不等式表示为,022yxyy≤≤≤≤，于是22222023222232002()dd()d19313dd.322486yyDyyxyxyxyxxxxyxyyyyσ+−=+−⎡⎤⎛⎞=+−=−=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫∫(2)11220110122(1)201111ddydx+dydxlnlndylndyln.yyDyyxyxyxyσ−−+=+++=+−=∫∫∫∫∫∫∫∫(3)2222411001ddd[e]d2.2xyxyxyyyDyeyyexyeeσ===−∫∫∫∫∫(4)π00sin()ddysin()d0.yDxyxyyσ+=+=∫∫∫∫2.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)dDxyσ∫∫，其中D是由两条抛物线yx=，2yx=所围成的闭区域；(2)2dDxyσ∫∫，其中D是由圆周221xy+=及y轴所围成的右半闭区域；(3)edxyDσ+∫∫，其中{(,)|||||1}Dxyxy=+≤；(4)22()dDxyσ+∫∫，其中{(,)|||1,||1}Dxyxy=≤≤．解(1)D可用不等式表示为2,01xyxx≤≤≤≤，于是2237111424000226dddd(-)d.3355xxxDxxyxxyyxyxxxxσ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫∫∫(2)D可用不等式表示为201,11xyy≤≤−−≤≤，于是2111222210112ddd(1)d.25xDxyyyxxyyyσ−−−==−=∫∫∫∫∫(3)12DDD=∪，其中1{(,)|11,10}Dxyxyxx=−−≤≤+−≤≤，1{(,)|11,01}Dxyxyxx=−≤≤−+≤≤，于是12011111010121121110ededededededed(ee)d(ee)d.xxxyxyxyxyxyxxDDDxxxyxyxxeeσσσ+−++++−−−−+−−−−=+=+=−+−=−∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫(4)D可用不等式表示为11,11xy−≤≤−≤≤，于是11222211131122111()dd()d28d2d.333Dxyyxyxxyxyyyσ−−−−−+=+⎡⎤⎛⎞=+=+=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫∫3.化二重积分(,)dDIfxyσ=∫∫为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D是：(1)由直线yx=及抛物线24yx=所围成的闭区域；(2)由x轴及半圆周222(0)xyry+=≥所围成的闭区域；(3)由直线yx=，2x=及双曲线1(0)yxx=所围成的闭区域；(4)环形闭区域22{(,)|14}xyxy≤+≤．解(1)直线yx=及抛物线24yx=的交点为(0,0)和(4,4)，于是440d(,)dxxIxfxyy=∫∫或2404d(,)dyyIyfxyx=∫∫(2)将D用不等式表示为220,yrxrxr≤≤−−≤≤，于是可将I化为220d(,)drrxrIxfxyy−−=∫∫；如将D用不等式表示为2222,0ryxryyr−−≤≤−≤≤，于是可将I化为22220d(,)d.rryryIyfxyx−−−=∫∫(3)三个交点为(1,1)、1(2,)2和(2,2)，于是211d(,)dxxIxfxyy=∫∫或12221112d(,)dd(,)d.yyIyfxyxyfxyx=+∫∫∫∫(4)将D划分为４块，得222222221411241414241114d(,)dd(,)dd(,)dd(,)d.yyyyyyyyIyfxyxyfxyxyfxyxyfxyx−−−−−−−−−−−−−−−−=+++∫∫∫∫∫∫∫∫或222222221414241111241414d(,)dd(,)dd(,)dd(,)d.xxxxxxxxIxfxyyyfxyyyfxyyyfxyy−−−−−−−−−−−−−−−−=+++∫∫∫∫∫∫∫∫4.改换下列二次积分的积分次序：(1)100d(,)dyyfxyx∫∫；(2)2220d(,)dyyyfxyx∫∫；(3)221101d(,)dyyyfxyx−−−∫∫；(4)22212d(,)dxxxxfxyy−−∫∫；(5)eln10d(,)dxxfxyy∫∫；(6)πsin0sin2d(,)dxxxfxyy−∫∫．解(1)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxyσ∫∫，其中{(,)|0,01}Dxyxyy=≤≤≤≤，D可改写为{(,)|1,01}xyxyx≤≤≤≤，于是原式110d(,)d.xxfxyy=∫∫(2)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxyσ∫∫，其中2{(,)|2,02}Dxyyxyy=≤≤≤≤，D可改写为{(,)|,04}2xxyyxx≤≤≤≤，于是原式402d(,)d.xxxfxyy=∫∫(3)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxyσ∫∫，其中22{(,)|11,01}Dxyyxyy=−−≤≤−≤≤，D可改写为2{(,)|01,11}xyyxx≤≤−−≤≤，于是原式21110d(,)d.xxfxyy−−=∫∫(4)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxyσ∫∫，其中2{(,)|22,12}Dxyxyxxx=−≤≤−≤≤，D可改写为2{(,)|211,01}xyyxyy−≤≤+−≤≤，于是原式211102d(,)d.yyyfxyx+−−=∫∫(5)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxyσ∫∫，其中{(,)|0ln,1e}Dxyyxx=≤≤≤≤，D可改写为{(,)|ee,01}yxyxy≤≤≤≤，于是原式1e0ed(,)d.yyfxyx=∫∫(6)所给二次积分等于二重积分(,)dDfxyσ∫∫，将D表示为12DD∪，其中1{(,)|arcsinπarcsin,01}Dxyyxyy=≤≤−≤≤，2{(,)|2arcsinπ,10}Dxyyxy=−≤≤−≤≤，于是原式1πarcsin0π0arcsin12arcsind(,)dd(,)d.yyyyfxyxyfxyx−−−=+∫∫∫∫5.计算由四个平面0x=，0y=，1x=，1y=所围成柱体被平面0z=及236xyz++=截得的立体的体积．解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOy面上的闭区域{(,)|01,01}Dxyyx=≤≤≤≤，顶是曲面623zxy=−−，因此所求立体的体积为11007(623)ddd(623)d.2DVxyxyxxyy=−−=−−=∫∫∫∫6.求由曲面222zxy=+及2262zxy=−−所围成的立体的体积．解所求立体在xOy面上的投影区域为22{(,)|2}Dxyxy=+≤所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差：22222222π2