分部积分法

经济数学1.分部积分法5.3分部积分法4.3分部积分法dxexx,cosxdxx形如用以往学过的方法能否解决?显然当被积函数是由两个不同类型函数乘积时，直接积分和换元积分法不一定有效。经济数学1.分部积分法4.3分部积分法1.导数运算与积分运算为互逆运算思考：2.求两个不同类型函数之积的积分，能否从其导数开始考虑？设函数)(xuu和)(xvv具有连续导数,,vuvuuv,vuuvvu或尝试解决的方法利用两个连续可微函数乘积的求导法则.,dxvuuvdxvuvduuvudv经济数学2.分部积分公式4.3分部积分法设u,v是两个连续可微函数，则公式或,dxvuuvdxvuvduuvudv叫作分部积分公式。这种将被积函数的一部分积分先积出的方法叫做分部积分法。udvvdu它的作用在于把不易求的化为比较容易求出的来计算.应用分部积分公式的关键是：选择适当的u、dv经济数学2.分部积分公式4.3分部积分法如求积分.cosxdxx若令,cosxudvdxxdx221xdxxcosxdxxxxsin2cos222显然，选择不当，积分更难进行.vu,换之,若令,xudvxdxdx)(sincosxdxxcos)(sinxxdxdxxxsinsin.cossinCxxx或,dxvuuvdxvuvduuvudv)(cos212xxd经济数学2.分部积分公式4.3分部积分法根据分部积分公式，关于vu,的选取原则：或,dxvuuvdxvuvduuvudv(1)v要容易求得(通常要用凑微分法求得)，且由dv求v时，一般不加积分常数C；(2)vdu要比udv容易积出．解：经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法令,xudveddxexx)(dxexexxdxxex则)(xexdCexexx例1dxxex求不定积分2(1)xxedx2(2)sinxxdx思考:解：经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法(2)令,2xudvxdxdx)(cossin)cos2cosxdxxxx２－（)(cos2xdxCxxxxxcos2sin2cos2例2求下列不定积分dxexx2)1(xdxxsin)2(2dveddxexx)()(22xdeexxxdxexx2则)(2xedxCexxx32)22(dxxeexxx22令,2xu（1）xdxxsin2则经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法dxxecaxudv)(1caxexda)(1dxexeacaxcaxdxexPcaxn)()0(annnxaxaxaaxp2210)(其中如这种类型通常是将指数函数先凑入微分号内.常见类型（一）经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法常见类型（二）axdxxPnsin)(或axdxxPncos)()0(aaxdxxcosudv)(sin1axxdannnxaxaxaaxp2210)(其中如这种类型通常是将三角函数先凑入微分号内.经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法xdxx2sin)1(dxexx2)2(Cxxx2sin412cos21Cexxx)22(2求下列不定积分训练题一)2(cos21xxd)2cos2cos(21xdxxx)(2xedx)2(2dxxeexxx经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法xdxxln)1(例2求下列不定积分解：(1)令dvxdxdxxu)(21,ln2xdxxln)(ln212xxd)(ln21ln222xdxxxCxxx2241ln2dxxarctan)2(经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法xdxxln)1(例2求下列不定积分dxxarctan)2(解：(2)令dvdxxu,arctanxdxarctandxxxxx21arctan221)(21arctanxxdxxCxxx)1ln(21arctan2经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法常见类型（三）dxaxxPnln)()0(adxxxPnarctan)(dxxxPnarcsin)(设为U即:这种类型通常是将幂函数先凑入微分号内.经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法求下列不定积分训练题二dxx)12ln()1(dxxxxx122)12ln(Cxxxx)12ln(21)12ln(xdxarcsin)2(dxxxxx21arcsinCxxx21arcsin经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法求下列不定积分训练题三dxexx12)1()1(Cexx12)12(41xdx2ln)2(Cxxx)2ln2(ln2经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法＊例3求不定积分xdxexsin解：xdxexsinxxdesin)(sinsinxdexexxxdxexexxcossinxxxdexecossin)coscos(sinxdexexexxxxdxexxexxsin)cos(sinxdxexsin.)cos(sin2Cxxex出现循环,怎么办?经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法常见类型（四）dxbxeaxsindxbxeaxcos(1)需要分部积分两次,通过解积分方程完成计算;或(2)的选取不影响计算积分的难易程度,但是两次分部积分时的选取应相同.dvu,dvu,经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法解：tdtdxtx2,令dxexdttet2Ctet)1(2Cxex)1(2dxex)(2xdexx或)(2xdeexxxCxex)1(2例4求不定积分dxex*经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法求不定积分＊训练题三xdxexcos2xdxexcos2)(sin2xdexxdxexexxsin2sin22Cxxex)cos2(sin52xdxexexexxxcos4cos2sin222xdxexcos2经济数学3.分部积分公式应用4.3分部积分法课堂小结duvuvdvudxvudvu,1、合理选择，正确使用分部积分公式2、常用分部积分法的有如下几种类型：;)(dxexpaxn;sin)(bxdxxpn;ln)(axdxxpn;arctan)(xdxxpnbxdxeaxsinniiinxaxp0))((;arcsin)(xdxxpn