高数中七种积分的注记

1高等数学中几种积分的注记摘要：高等数学课程中出现了多种积分形式，本文从积分概念、积分实际意义、计算公式等几个方面，用列表的形式加以总结、梳理、区分。关键字：定积分,二重积分,三重积分,曲线积分,曲面积分《高等数学》中我们学习了多种积分，以及他们的计算方法。如果不及时总结梳理所学的知识，往往会混淆概念，对公式一知半解，犹如走入了迷宫，满头雾水。做起题目不知从何下手。下面我们就定积分，二重积分，三重积分，第一类曲线、曲面积分，第二类曲线、曲面积分，从定义、实际意义、计算方法几个方面进行总结梳理。1．积分定义上述几种积分的概念都可以划分为四步：“大化小、常代变、近似和、取极限”。因此定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分可以概括为如下的定义1，第二类曲线积分、第二类曲面积分可以概括为如下的定义2定义1设Ω为一有界几何体，f(M)是Ω上的有界函数，把Ω任意划分成n部分,1,2n,(i同时也表示第i部分的度量)，令λ=max{i的直径}，Mi为i上任意取定的一点，作和式iniiMf1)(。如果当λ0时，iniiMf10)(lim总存在，则称此极限为f(M)在几何体Ω上的积分，记为df)M(，即iniiMfdf10)(lim)M(上述概念将前五种积分统一起来，分析如下表：积分类型Ω定义式定积分区间[a,b]Riniibaxfdxxf10)(lim)(二重积分平面区域DR2iniiiDfdyxf10),(lim),(三重积分空间区域ΩR3iniiiivfdvzyxf10),,(lim),,(第一类曲线积分空间(平面)曲线LR3(R2)iniiiiLsfdszyxf10),,(lim),,(2(iniiiLsfdsyxf10),(lim),()第一类曲面积分空间曲面∑R3niiiiiSfdSzyxf10),,(lim),,(定义2设Ω为N维空间中一光滑有向的有界几何体，且Ω为m维(mN)，f(M)是Ω上的有界函数，把Ω任意划分成n部分,1n,,2(i同时也表示第i部分的度量)，令λ=max{i的直径}，i在某m维子空间的投影为mi)((mi)(也表示±1·mi)(的度量，其中符号有Ω的方向决定)，Mi为i上任意取定的一点，作和式iniiMf1)(。如果当λ0时，miniiMf)()(lim10总存在，则称此极限为f(M)在有向几何体Ω上对该m维空间的第二类积分，记为mdf)M(，即miniimMfdf)()(lim)M(10上述概念将后两种积分统一起来，分析如下表：积分类型Ω定义式第二类曲线积分三维(二维平面)有向光滑曲线LR3(R2)niiiiiiiLzyxfdzdydxzyxf10),,(lim),,(;(niiiiiLyxfdydxyxf10),(lim),()第二类曲面积分光滑有向曲面∑R3nizxiyzixyiiiiSSSfdzdxdydzdxdyzyxf10)()()(),,(lim),,(2．上述积分的实际意义为了更直观地区分各积分的概念，了解他们之间的联系，现将其几何意义总结如下表：函数积分类型几何意义当f≥0时定积分badxxf)(由曲线y=f(x),x轴,直线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积二重积分Ddyxf),(以D为底，曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积3三重积分dvzyxf),,(占据空间Ω密度为f(x,y,z)的几何体的质量第一类曲线积分Ldsyxf),(以f(x,y)为点密度的曲线挂件L的质量第一类曲面积分dSzyxf),,(以f(x,y,z)为面密度的曲面挂件Σ的质量当f=1时badx1区间[a,b]的度量(长度)b-aDd1区域D的度量(面积)SDdv1区域Ω的度量(体积)VΩ3．各种积分的计算(以直角坐标系为例)假设下面所涉及的函数都为积分区域上的连续函数，则其积分存在。计算积分的整体思想就是数学中常用的降维思想，即把重积分转化为定积分。(1)定积分的计算N-L公式：)()()(aFbFdxxfba，其中)()(xfxF)(bxa(2)重积分化为定积分(逐次积分)积分类型积分区域计算公式二重积分D|),{(yx,bxa)}()(xyx)()(),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf|),{(yxD,bya)}()(yxy)()(),(),(yybaDdxyxfdydyxf三重积分}),(,|),,{(zDyxbzazyxzD|),{(yx),()(21zxxzx)},(),(21zxyyzxydvzyxf),,(zDzbadzyxfdz),,(),(),()()(2121),,(zxyzxyzxzxbadyzyxfdxdz),,(),(|),,{(21yxzzyxzzyx}),(xyDyx,|),{(byayxDxy)}()(21xyyxydvzyxf),,(),(),(21),,(yxzyxzDdzzyxfdxy),(),()()(2121),,(yxzyxzxyxybadzzyxfdydx(3)曲线与曲面积分化为定积分或重积分4积分类型积分区域计算公式第一类曲线积分btatyytxxL),(),(:Ldsyxf),(badttytxtytxf)()()](),([22第二类曲线积分btatyytxxL),(),(:LdyyxQdxyxP),(),(badttytytxQtxtytxP)}()](),([)()](),([{第一类曲面积分ΣDyxyxzz),(),,(:dzyxf),,(Dyxdxdyzzyxzyxf221)],(,,[第二类曲面积分ΣDyxyxzz),(),,(:Ddxdyyxzyxfdxdyzyxf)],(,,[),,(±符号有Σ的取向决定参考文献：[1]同济大学数学系．高等数学（第六版上下册）[M]．北京：高等教育出版社，2007.4[2]华东师范大学数学系．数学分析（第四版上下册）[M]．北京：高等教育出版社，2010.6[3]许丽莉．各类积分间的区别与联系[J]．宁德师范学院学报(自然科学版)，2014.8：306-309