常微分方程的实际应用

1常微分方程的实际应用于萍摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用2Abstract:Nomaldifferentialequationisanimportantpartofmathatithasahighpracticalvalue.Thisthesisshowstheuseingeometry,mechaicsandelectrothermalandmakessomeexamples.Also,itsummarizesthenormalmoveofdealingwithpracticalproblemsbythenormaldifferentialequation.Normal,wesetupthemathsmaticmodeloftheproblem,solutethenormaldifferenticalequationmaketheuseoftheresulttoexplainpracticalproblemsandmakeaforecastofsomespecialcharacterofphysicalprocess.Key:Normaldifferetialequationgeometrymechanicselectrothermaluse3引言数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数(或微分)间的关系式，不同的物理现象可以具有相同的数学模型，这一事实正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。例如，利用电路来模拟某些力学系统或机械等等在现时已相当普遍。在自然科学和技术科学的其他领域中，例如化学、生物学、自动控制、电力技术等等，都提出了大量的微分方程问题，因此，社会的生产实践是常微分方程理论取之不尽的基本源泉。此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的。它们往往互相联系、互相促进。例如，几何学、机械运动、电磁振荡就是常微分方程理论的丰富的源泉之一，常微分方程也是解决实际问题不可或缺的武器。4一、常微分方程在几何学的应用在几何应用问题中，列的方程常常是含有变限定积分的方程。在求解时要化为相应的微分方程或微分方程初值问题。凡是能用定积分计算的量，一定分布在某个区间(比如ba,)上，并且对于该区间具有可加性，曲边梯形的面积A与区间ba,有关，当把ba,分成n个部分区间时，则所求量A也相应地分成n个部分量),,2,1(niAi，而A就等于所有这些部分之和，即niiAA1，这时我们就称面积A对区间ba,具有可加性，几何中的面积、弧长，曲线方程等都具有这种特性。在求解微分方程的应用问题时，列出方程是关键性的一步，一定要逐字逐句地仔细阅读题目，根据题目的要求确定未知函数和自变量，然后利用题设中指出的(或包含的)相等关系列出方程，应用问题常常是初值问题。因而，要从题设中确定未知函数满足的初始条件。常微分方程在解决几何问题的过程中通常采用数形结合，达到简易直观的效果。利用y表示曲线)(xfy上yx,点处的切线斜率或dydx表示曲线)(xfy上yx,点的法线斜率以及xadttf)(表示由曲线)(xfy)0)((xf，直线axxx,，x轴所围图形的面积等方面的意义，列方程。解方程，在求解过程中一定要对常微分方程的解法熟悉于心，才能得心应手。首先要审视方程，判断方程类型，属于一阶微分方程还是可降阶微分方程或高阶微分方程等等。根据不同类型，确定解题方案。5下面就让我们结合具体例题来体会常微分方程在解决几何问题的应用。例1［2］、设)(xfy是第一象限内连接点)0,1(),1,0(BA的一段连续曲线，),(yxM为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影。O为坐标原点，若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163x，求)(xf的表达式。解：根据题意有：0)1(,1)0(ff且316)()(1231xdttfxfxx，将上式两边对x求导数，得2)()(2)(1212xxfxfxxf当10x时，可化为一阶线性微分方程：xxxfxxf1)(1)(方程两边同除x，即得211)(xxxf积分可得cxxxxf1)(于是，方程通解为cxxxf1)(2把0)1(f代入通解，可确定常数2c故所求函数)(xf的表达式为：.xyABMC11o610,)1(21)(22xxxxxf例2［2］、在上半平面求一条向上凹的曲线，其任一点),(yxp处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数，(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点)1,1(处切线与x轴平行。解：见图，所求曲线为)(xfy，于是其在),(yxp点处的曲率为：232232)1()1(yyyyk(∵曲线为凹的，∴0y)曲线)(xfy在),(yxp点处的法线方程：)0)((1yxXyyY它与x轴的交点Q的坐标)0,(yyxQ，于是21222)1()(yyyyyPQ，由题设PQk1，即212232)1(1)1(yyyy21yyy——这是不显含x的方程初始条件为，1|1xy，0|1xy令dydppypy,，于是方程变为ydydppppdydpyp2211xyoP(x,y)y=f(x)712ln)1ln(21cyp，代入0|1xy，得01c11222ypyp，积分得22)1()1ln(cxyy代入1|1xy，得02c故所求曲线为：)1(21xeyy，即)(21)1(1xxeey例3［3］、已知曲线过)1,1(点，如果把曲线上任一点P处的切线与y轴的交点记作Q，则以PQ为直径所做的圆都经过点)0,1(F，求此曲线方程。解：见图所求曲线设为)(xfy于是切线方程为)(xXyyY切线PQ与y轴的交点Q的坐标为),0(yxyQ设M点为切线段PQ的中点，坐标为2,2yxyx∵圆经过点)0,1(F∴MFMQ于是得方程1|11112xyxyxyy①令zy2，则方程①xyoP(x,y)y=f(x)MQF(1,0)8xzxzxyxy222111)(2122②(1)cxzdxxzdzzxzlnln2ln222cxz(2)令2)(xxcz为②的解，代入并整理，得32222)(22)(xxxcxxxccxxxc~12)(2故②的通解为：222~12~12xcxxcxxz即方程的通解为22~12xcxy，代入初值1|1xy，得0~c故所求曲线为122xy例4［1］、在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状。解：取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向，(见图)。设所求曲面由曲线0)(zxfy①绕x轴旋转而成，则求反射镜面问题归结为求xy平面上的曲线)(xfy的问题。xPTyNoZMα1α2α19过曲线)(xfy上任一点),(yxM作切线NT则由反射定律：入射角等于反射角，容易推知21从而ONOM注意到NPMPtgdxdy2及22,,yxOMyMPxOP就得到函数)(xfy所满足的微分方程式22yxxydxdy这是齐次方程。设xy，将它化为变量分离方程求解得)2(2xccyc为任意常数故反射镜面的形状为旋转抛物面)2(22xcczy二、常微分方程在机械振动中的应用常微分方程与物理联系甚为广泛，下面我们就一起来看一下常微分方程在机械振动中的应用，常微分方程解决力学问题需要：建立坐标系，对所研究物体进行受力分析；根据牛顿第二定律maF，列方程；解方程。下面，让我们从实例中体会常微分方程在力学中的作用。例1［2］：一个质量为m的船以速度0v行驶，在0t时，动力关闭，假设水的阻力正比于nv，其中n为一常数，v为瞬时速度，求速度与滑行距离的函数关系。10解：船所受的净力=向前推力-水的阻力=nkv0，加速度=速度对时间的导数，即dtdva，于是，由题设有00|vvkvdtdvmtn现在要求的不是速度与时间的关系，而是速度与距离的关系，设距离为x，于是，上述方程可化为：nkvdxdvmvdtdxdxdvmdtdvmkdxdvmvn1(※)当2n时，两边积分，得ckxnmvn22把0|,|000ttxvv代入上式，得nmvcn220故nnvxmnkv202)2(当2n时，(※)kdxdvmv1，积分得xmkcev，将初值代入，得0vc故xmkevv0例2［2］、两个质量相同的重物挂于弹簧下端，其中一个坠落，求另一个重物的运动规律，已知弹簧挂一个重物伸长为a。11解：如图所示，建立坐标系设弹簧自由状态时长度为l，取al处(即挂一重物时弹簧的长度)为坐标原点，取x轴铅直向下，设在t时刻，重物在x处，由虎克定律知，此时弹性恢复力为kkx,为弹性系数，负号“—”是因为弹性恢复力与位移反向，由牛顿第二定律有：0)0()0(22xaxktdtxdm∵挂两重物时，弹簧伸长a2，由虎克定律有：amgkakmg22∴方程xagdtxd22，其特征方程：agag2于是方程通解为tagctagcxsincos21tagagctagagcxcossin21把初始条件0)0(,)0(xax代入以上两式得0,21cac∴所求重物的运动规律为tagaxcos2a2mglaxxmg·12例3［1］数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿圆周动运。如图所示，试确定摆的运动方程。解：设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角的正方向，质点M沿圆周的切向速度v可以表为dtdlv作用于质点M的重力mg将摆拉回平衡位置A。把重力mg分解为两个分量MQ和MP，第一个分量MQ沿着半径OM的方向，与线的拉力相抵消，它不会引起质点M的速度v的数值改变，因为MP总是使质点M向着平衡位置A的方向运动，即当角为正时，向减小的方向运动，当角为负时，向增大的方向运动，所以MP的数值等于sinmg，因此，摆的运动方程是sinmgdtdvm，即sin22lgdtd。(1)如果只研究摆的微小振动，即当比较小时的情况，我们可以取sin的近似值代入上式，这样就得到微小振动时摆的运动方程：022lgdtd(2)如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么，沿摆的运动方向就存在一个与速度v成比例的阻力，若阻力系数为，则摆动方程为022lgdtdmdtd。(3)如果沿摆的运动方向恒有一个外力)(tF作用于它，这时摆的运动olAMQmgP13称为强迫微小振动，其方程为：)(122tFmllgdtdmdtd。当要确定摆的某一个特定运动时，我们