广义二重积分问题

广义二重积分问题一、广义二重积分问题若区域D是平面上的无界区域，),(yxf在区域D上连续，则在区域D上的广义二重积分定义为DDDDdyxfdyxf),(lim),(，其中D是无重点的连续闭曲线画出的有界闭区域，且闭曲线连续扩张并趋于区域D。若上式右端极限存在，则称),(yxf在区域D上可积，或称),(yxf在区域D上广义二重积分收敛，否则称广义二重积分发散。根据无界区域的特点，熟练掌握下述三种构造有界闭区域D的方法。1、)()(,:,xyxxayxD）（（如图1所示）。则构造)()(,:,xyxbxayxDb）（，)()(),(lim),(lim),(xxbabDbDdyyxfdxdyxfdyxfb，2、当)()(,:,yxyycyxD）（（如图2所示）。则构造)()(,:,yxydxcyxDd）（，)()(),(lim),(lim),(yydcdDdDdxyxfdydyxfdyxfd，xo)(x)(xDba图13、当区域D是整个xoy平面或xoy平面的某一象限或某一角形区域时，则构造角度变化范围）（,:,222RyxyxDR，RDRDdyxfdyxf),(lim),(，例1计算二重积分Dydxdyxe2，其中D是由曲线2249xyxy和在第一象限所构成的无界区域，即23,0:,yxydyyxD）（（如图3所示）。解：dyyydDydDydydxexdxdyxedxdyxed02/3/][limlim2221445]94[lim2102dyddyeyy。例2证明dxex2只需证明2][2dxex即可，而dyedxedxeyxx2222][，为此设)(y)(yDdc图22yx3yxd图3oxyRR2图4},|),{()(}2|),{()2(};|),{()(222222RyRRxRyxRDRyxyxRRyxyxR则，)2()()(RRDR（如图4所示）)1()1(222222222)2()()(RRyxRDyxRRyxededeede所以，当R时，deDyx)(222][222dxedxdyexyx。因此，dxex2。